Ecuación diferencial lineal homogénea

Ecuación diferencial lineal homogénea

Definición Se llama ecuación diferencial lineal real ordinaria con coeficientes constantes y de orden a toda ecuación de la forma:

en donde son constantes reales y es función real de la variable real

Teorema (a) El conjunto de las funciones que son soluciones de la ecuación diferencial (1) tiene estructura de espacio vectorial real con las operaciones usuales. (b)

Nota Como consecuencia, encontrando una base de tendremos resuelta la ecuación pues todas las soluciones de [1] vendrán expresadas en la forma

Definición Se llama ecuación característica de la ecuación diferencial (1) a la ecuación algebraica

Método para el cálculo de una base del espacio de las soluciones Se demuestra que se obtiene una base del espacio de las soluciones de la ecuación diferencial (1) eligiendo funciones de las siguiente manera:

1. Por cada raíz real simple de la ecuación característica elegimos la función

2. Por cada raíz real de multiplicidad de la ecuación característica elegimos las funciónes

3. Por cada raíz compleja simple de la ecuación característica elegimos las funciones

4. Por cada raíz compleja de multiplicidad de la ecuación característica elegimos las funciones y las funciones

Nota Como la ecuación característica tiene coeficientes reales por cada raíz compleja , aparece su conjugada Por esta conjugada no elegimos ninguna función.

Ejemplo 1 Hallar la solución general de la ecuación diferencial

Resolución La ecuación característica es cuyas raíces son (simples). Una base del espacio de las soluciones es La solución general de la ecuación es por tanto

Ejemplo 2 Hallar la solución general de la ecuación diferencial Hallar la solución particular que cumple

Resolución La ecuación característica es cuyas raíces son (simple) y (doble). Una base del espacio de las soluciones es La solución general de la ecuación es por tanto Hallemos la solución particular pedida. Tenemos:

Imponiendo las condiciones :

Resolviendo obtenemos , por tanto la solución particular pedida es

Ejemplo 3 Hallar la solución general de la ecuación diferencial

Resolución La ecuación característica es cuyas raíces son y (simples). Una base del espacio de las soluciones es La solución general de la ecuación es por tanto

Ejemplo 4 Hallar la solución general de la ecuación diferencial

Resolución La ecuación característica es Observemos que podemos escribirla en la forma La raíces de son (simples) por tanto las de la ecuación característica son (dobles). Una base del espacio de las soluciones es La solución general es por tanto

Ejemplo 5 Encontrar una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes que tenga las soluciones:

Resolución Según el teorema enunciado, la solución proviene necesariamente de la raíz (doble) de la ecuación característica. Por otra parte

Dado que el conjunto de las soluciones es un espacio vectorial, para que tenga las dos soluciones anteriores basta que tenga las soluciones que proviene de la raíz (simple) y que proviene de la raíz (simple). La ecuación característica correspondiente es por tanto

Operando obtenemos , que proporciona la ecuación

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