Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

osEcuaciones Diferenciales Homogéneas

Definiciones:

1-Son ecuaciones en las que se puede hacer un cambio de variable reduciéndolas para que resulte una ecuación de variable separada.

2- Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior. Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.

3- Existen algunas ecuaciones diferenciales que al momento de sustituir o hacer un cambio de variable correcto, estas se pueden simplificar en una ecuación diferencial por variables separables. Para finalmente integrarlas y reducirlas.

Teoremas:

Su forma original es:

M(x, y)dx + N(x, y)dy =0

Se dice que la ecuación es homogénea si M y N tienen el mismo grado.

f(x,y)=xy+y^2

Es homogénea.

Métodos de solución

Ejemplos:

Existen dos formas de resolver ecuaciones homogéneas;

Por Inspección

Por la suma de exponente de cada término.

Método de inspección:

Consiste en convertir los términos de “X” y de “Y” y resolver la ecuación usando la siguiente referencia:

M(tx,ty)

tn f(x,y)

N(tx,ty)

Ejemplos:

En la siguiente ecuación:

f(x,y)=x-3√((xy+5y))

Lo primero es sustituir los términos “x” y “y” por sus variables con “t” de la siguiente manera:

f(tx,ty)=tx-3√((tx ty+5ty))

Ahora veremos si hay términos que podamos resolver y factor izar.

=tx-3√((t^2 xy+5ty))

Factor izamos los términos de “t” y los multiplicamos. Resolviendo la raíz quedaría.

=tx-3t√((xy+5ty))

Ahora volvemos a factor izar toda la ecuación:

=t(x-3√((xy+5y) ))

Se regresa a la ecuación original cuando esto ocurre se dice que es una ecuación homogénea y el exponente en la letra “t” nos indica de que grado es nuestra ecuación.

x-3√((xy+5y))

Ecuación homogénea de primer grado.

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