Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Unidad1_ Ecuaciones Diferenciales Homogéneas En el apartado anterior estudiamos ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 1en variables separables(EDO1EVS); patrón de identificación y procedimiento de resolución. Iniciamos ahora un tratado sobre Ecuaciones Diferenciales Homogéneas(EDH) las cuales tienen la propiedad importante que, haciendo una sustitución adecuada, son reductibles a EDO1EVS, y una vez transformadas en estas, aplicamos procedimientos de resolución preestablecidos, a objeto de determinar sus soluciones generales, o particulares, según sea el requerimiento. Ahora bien, es propicia la oportunidad para recordar ¿Cuándo decimos que una función es homogénea? Interesados en primera instancia en funciones en una variable dependiente y dos independientes; sea, por ejemplo, una función f de modo que z = f( x, y ) Puede decirse que f es una función homogénea de grado n, siempre que f( tx, ty) = t n f(x,y) , con n, algún número real, normalmente, positivo. Ejemplos: La función f, definida de la forma f(x,y) = (5/4)x 2 + 5yx - 7y2 es homogénea de grado 2, pues, f(tx,ty) = (5/4)(tx)2 + 5ty.tx – 7(ty)2 = (5/4).t2 x 2 + 5t2 yx – 7t2 y 2 = t2 ((5/4)x 2 ) + 5yx -7y2 ) = t 2 f(x,y). Sin embargo, la función g tal que g(x,y) = 2y-3xy+ 4 , no es homogénea. En efecto, g(tx,ty) = 2(tx) – 3(tx)(ty) + 4 = 2tx – 3t2 xy + 4; resultado éste, diferente de g(x,y). En virtud de esta consideración para identificar funciones homogéneas, podemos con gran confianza y seguridad, señalar que “una ecuación diferencial de la forma ED: M(x,y)dx + N(x,y)dy = o Unidad1_ Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con M y N funciones homogéneas del mismo grado n, es una ecuación diferencial Homogénea”. También decimos que M y N son los “coeficientes de la ecuación ED”. Ejemplo 1 : Dada la ecuación diferencial ED: (x3 + 5y 3 )dx - xy2 dy= 0 a) Muestre que es homogénea verificando la homogeneidad de sus coeficientes Las funciones en las condiciones de coeficientes en la ED dada, son M(x,y) = x 3 + 5y3 y N(x,y) = -xy2 . Entonces: M(tx,ty) = (tx)3 + 5(ty)3 = t3 x 3 + 5t3 y 3 = t3 (x3 + 5y3 ) = t 3M(x,y) O sea, que M es homogénea de grado 3. De forma similar verificamos que N(tx,ty) = -tx.(ty)2 = -tx.t2 .y2 = t3 .(-xy2 = t3 .N(x,y), lo cual indica que N es también homogénea de grado 3. Esta muestra de que los coeficientes de la ED dada son funciones homogéneas, basta para concluir que la ED pre-citada, es Homogénea. Antes de entrar en ciertas pautas o procedimientos para determinar soluciones de ecuaciones diferenciales homogéneas(EDH), es necesario resaltar ciertas informaciones motivadoras respecto a estas ecuaciones. Muchos estudiosos de la matemática consideran que estas EDH son las ecuaciones diferenciales más importantes para las que se puede establecer una regla definida. Ya acabamos de fijar un patrón de identificación de cuándo una ecuación diferencial escrita como M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, es homogénea. Ahora, es de mayor interés y relevancia, darles solución; de allí entonces nuestro énfasis y dedicación en aplicar transformaciones y cambios de variables específicos, a objeto de facilitar la búsqueda de la(s) función(es) que, conjuntamente con sus derivadas necesarias, cambia(n) una EDH planteada, en una identidad. Comenzamos considerando que: “una ecuación diferencial en su forma dy/dx = f(x,y) Unidad1_ Ecuaciones Diferenciales Homogéneas es homogénea, siempre que la función f no dependa, unilateralmente, de x y de y; no obstante sí, de las razones y/x (o x/y) “. Significa entonces, que las EDH tienen la forma dy/dx = F(x/y) Son ejemplos de EDH, las ecuaciones: 1) dy/dx = (2x 2 – 3xy) / y2 = 2/ (y2 /x2 ) – 3/(y/x) 2) dy/dx = ln(x) – ln(y) + (2x – y) / ( x+ 2y), con x>0 y y>o = ln( 1/y/x ) + (2 – y/x ) /(1+ 2y/x) Sin embargo, puede observarse que la ecuación 3) dy/dx = (2x3 + 3xy)/y no define una EDH. Verifique esta afirmación. Las formas ya vistas para una EDH, sugiere su simplificación introduciendo otra variable en términos de y y de x; pero, dada por la razón y/x. Puede tomarse la sustitución v = y/x ( o y = xv ) y la ecuación dy/dx = F( y/x ) se convierte en dy/dx = F(v) (1) También, como y = xv dy/dx = x.dv/dx +v (2) Así que, juntando (1) y (2), tenemos que x(dv/dx) + v = F(v) (3) En esta ecuación (3) se verifica el evento muy importante de que las variables x y v se pueden separar, sin importar la forma de la función F. Concretando el despeje, se obtiene una ecuación con el patrón de cumplimiento de una EDO1EVS dx/x = dv/(F(v) – v) …Aplicaciones de integración… nos llevan a encontrar fórmula de la solución en la variable v, y dado que v = y/x , se hace el reemplazo correspondiente, concluyendo con la solución de la EDH Unidad1_ Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Ejemplos: (1) Resolver la EDH (x 3 + 5y3 )dx - xy2 dy = 0 -- iniciando con transformar la EDH a la forma Normal dy/dx = f( y/x) ; dy/dx = (x3 + 5y3 ) /xy2 = x 2 /y2 + 5y/x = 1/(y/x)2 + 5(y/x) Con y = xv (o v = y/x ) dy/dx = x(dv)/dx) + v, se tiene que x(dv/dx)) + v = (1/v2 ) + 5v , luego x(dv/dx) = ((1/v 2 ) + 5v - v) , de donde xdv = ((1/v2 )+ 4v )dx , o también xdv = ((1 + 4v3 )/ v2 )dx, por consiguiente, dv/(1 + 4v3 )/v2 = dx/x y (v 2 dv)/1 + 4v3 = dx/x , es el momento de aplicar integración indefinida en ambos miembros de la ED. Entonces se tiene que Intg(( v2 / ( 1 + 4v3 ))dv = Intg((1/ x ))dx, con w = 1 + 4v3 , dw = 12v2 dv y dw/12 = v2 dv (1/12).Intg(dw/w) = Intg(dx/x) ( 1/12) LnIwI + c1 = LnIxI + c2 LnI 1 + 4v3 I 1/12 = LnIxI+ LnIcI , con c = c2 – c1 , c >0 y c = LnIcI (e LnI 1+ 4v3I ) 1/12 = e Ln Ic x I I1 + 4v3 I 1/12 = IcxI, finalmente, con 1 +4v3 >0 , cx>0 y reemplazando v por la razón y/x, escribimos la solución como (x3 + y3 ) 1/12 = cx5/4 o despejando c ; o despejando la variables dependiente y, siendo así, la solución quedaría en forma explícita y = ( (cx5/4 – x 3 )/4) )1/3 Unidad1_ Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Puede verificar que es sencillo el despeje realizado(no siempre esto se consigue de manera fácil ) Para terminarle la motivación: 1) Determina la solución particular de la EDH cuya solución general ya tiene, con la condición hipotética de que y(1) = 1 2) Si la condición inicial fuese dada por y(0) = 1, ¿Cuál sería la solución? 3 Practique verificando que las siguientes ecuaciones diferenciales son homogéneas. Luego resuélvalas: a) dy/dx = (5x – 4y)/(3x – 2y) b) (x2 + 3xy + y2 )dx - x 2 dy = 0. Drav 2020

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