Modelos matematicos. Modelacion de sistemas por medio de ecuaciones diferenciales

Modelos Matemáticos.

En el proceso de modelaje, en base a consideraciones fisicas o matematicas, se efectuan simplicaciones o se desprecian aspectos considerados de menor importancia con la finalidad de obtener un modelo matematico que siendo lo mas sencillo posible,atrape todas las propiedades fundamentales del fenomeno estudiado. Asi, el modelo sobre el cual se trabaja constituye tan solo una aproximacion a la realidad y puede pensarse a esta, a la realidad, como una “ perturbacion estructural” del modelo. La bondad del modelo matematico del sistema es mayor en la medida en que soporta tales perturbaciones estructurales, es decir, en la medida en la cual el error de modelaje no compromete la validez de los resultados y predicciones del modelo.

1._ Modelacion de sistemas por medio de ecuaciones diferenciales

Si se desea estudiar a un sistema de control en forma intrínseca, ha de recurrirse a un modelo surgido por las leyes fundamentales que rigen la dinámica del sistema. En el caso de los sistemas causales, deterministicos y diferenciales, el modelo naturalmente se expresa mediante unos sistemas de ecuaciones diferenciales y algebraicas.

1.1_ Modelación de sistemas mecánicos con elementos sometidos a movimientos traslacionales.

La modelación matemática de sistemas mecánicos constiruidos por masas, resortes y amortiguadores viscosos se fundamenta, en la mayoría de los casos, en la adecuada aplicación de la Segunda Ley de Newton:

La suma algebraica de las fuerzas aplicadas a un cuerpo rígido en una determinada dirección es igual al producto de la masa de dicho cuerpo por su aceleración en esa misma dirección.

La Segunda Ley de Newton puede ser expresa matemáticamente como sigue:

[pic 1]

Los modelos matemáticos de las masas, resortes y amortiguadores se resumen en la siguiente figura.

Figura 1. Elementos básicos de los sistemas mecánicos

Ejemplo 1. Dado el sistema de la figura 2, obtenga la ecuación diferencial que lo modela.

Aplicando la Segunda ley de Newton se tiene que:

[pic 5]

Agrupando términos, tenemos que:

[pic 6]

Figura 2. Sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 2. Considere el sistema mecánico de la figura 3, cuyo objetivo es reducir las vibraciones que la fuerza f produce sobre la masa m. suponga que m es mucho mayor que m1 y que ambas masas se mueven hacia la derecha desde la posición cero. Además, m se mueve más y más rápido que m1.

Figura 3. Sistema de reducción de vibraciones inducidas por una fuerza externa.

Aplicado la Segunda Ley de Newton, se concluye que:

[pic 7]

Y

[pic 8]

Reagrupando términos tenemos que:

[pic 9]

[pic 10]

Este par de ecuaciones diferenciales de segundo orden constituyen el modelo del sistema estudiado.

1.2 Modelación de circuitos eléctricos.

La teoría de circuitos constituye una de las fuentes de modelos físicos más rica con que se cuenta en ingeniería. Un circuito esta constituido por un conjunto de puntos, llamados nodos, a los cuales están conectados los componentes o elementos del circuito. Entre cada par de nodos existe un voltaje o diferencia de potencial eléctrico que induce un flujo de cargas eléctricas o corriente a lo largo de los componentes. A los componentes del circuito se lo describe mediante la ley de ohm generalizada, la cual especifica, en cada caso, la función que liga al voltaje entre los extremos del componente con la corriente por él inducida.

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