Sistemas de Ecuaciones Diferenciales.

República Bolivariana de Venezuela[pic 1]

Instituto Universitario “Politécnico Santiago Mariño”

Escuela de Ingeniería en Mantenimiento Mecánico

Extensión Mérida

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Integrantes

Anny Contreras

C.I: 23.724.989

Lucia Pilade

C.I: 24.195.990

Mérida, Agosto 2016.

Sistema de Ecuaciones Diferenciales

Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de una o más ecuaciones en las que aparecen una o más funciones incógnita, pero todas ellas dependiendo de una sola variable independiente.

Sistema Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Es aquel sistema en el que aparecen solo derivadas de primer orden en las funciones incógnitas. Por eso se llama un sistema de primer orden. El orden de un sistema de ecuaciones diferenciales es el orden de la derivada de mayor orden que aparece en el sistema. La forma general de un sistema de dos ecuaciones y de primer orden es:

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Donde f y g son funciones de las tres variables x, y y t (variable independiente del sistema). Una solución del sistema en el intervalo (a, b) es un par de funciones x(t), y(t) que satisfacen

[pic 3]

Idénticamente para todo t ∈ (a, b).

Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden lineal es un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, que, expresado en forma explıcita, es

[pic 4]

[pic 5]

O en forma vectorial,

[pic 6]

Donde se han introducido las funciones vectoriales

[pic 7]

Y la matriz

[pic 8]

El sistema es un sistema lineal homogéneo si f(t) = 0. Al igual que ya se hizo con las ecuaciones lineales, se puede traducir la ecuación lineal al lenguaje de operadores. Así, si se considera I ⊆ R, se puede definir el operador vectorial

[pic 9]

Esto es,

[pic 10]

Del cual puede probarse con facilidad que es lineal y se permite escribir como

[pic 11]

O en el caso homogeneo

[pic 12]

(Con lo que el nombre dado queda justificado). La cuestión de la de la existencia y unicidad de soluciones para estos sistemas tiene la siguiente respuesta:

Teorema (de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones lineales):

Considérese el sistema L(x(t)) = f(t) con la condición inicial x(t0) = (x 0 1. . . x0 n ) ≡ x0 y tal que las funciones fi(t), g j i (t) son continuas en un cierto intervalo I = (x0 − a, x0 + a) (con 0 < a). Entonces existe una única solución x(t) definida en el intervalo I, que es derivable con continuidad hasta el orden n.

(En particular, si los coeficientes funcionales son continuos en todo R, entonces la existencia y unicidad de la solución está garantizada también en todo R).

(Dem.) Se basa en los teoremas de existencia y unicidad de soluciones para sistemas de ecuaciones de primer orden (teorema 12) y para ecuaciones diferenciales lineales (teorema 6).

Soluciones de los sistemas de primer orden lineales

Comenzaremos el estudio de las soluciones de los sistemas de primer orden lineales con el siguiente resultado:

Proposición 18 Sea el sistema de primer orden lineal L(x(t)) = f(t) y (t) ∈ C∞(I,) una solución. Entonces (t) ∈ C ∞ (I,) es solución del sistema si, y solo si,  (t) − (t) ∈ Ker L; esto es, es solución del sistema lineal homogéneo asociado L(x(t)) = 0. [pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

(Dem.) Si L((t)) = f(t) y L((t)) = f(t) entonces [pic 19][pic 20]

L ((t) −(t)) = L((t)) − L((t)) = f(t)−f(t) = 0 [pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

Recíprocamente, si x 2 (t) − x 1 (t) ∈ Ker L entonces

 0 = L(x 2 (t) − x 1 (t)) = L(x 2 (t)) − L(x 1 (t)) ⇒ f(t) = L(x 2 (t)) = L(x 1 (t))

Corolario 1 La solución general del sistema de primer orden lineal     L(x(t)) = f(t) está dada por x(t) = XP (t)+Ker L donde xP (t) es una solución particular cualquiera del sistema y Ker L designa la solución general del sistema lineal homogéneo asociado.

(Dem.) Inmediata.

Teniendo en cuenta que Ker L es un subespacio vectorial de C ∞ (I,), es inmediato probar el siguiente resultado: [pic 25]

Proposición 19 Sea el sistema de primer orden lineal homogéneo      L(x(t)) = 0. Entonces cualquier combinación lineal de soluciones del sistema es también solución.

Y para finalizar este estudio preliminar se tiene:

Proposición 20 Sea el sistema de primer orden lineal homogeneo     L(x(t)) = 0.

Sea la funcion vectorial compleja z(t) ∈ C∞(I, C n ), que se puede expresar como z(t) = u(t) + iv(t), donde u(t), v(t) ∈ C∞(I, R n ) (son funciones vectoriales reales). Entonces z(t) es una solución compleja del sistema si, y solo si, u(t), v(t) son también soluciones (reales); es decir, las partes real e imaginaria de la solución son soluciones por separado.

(Dem.) Evidente ya que

0 = L(z(t)) = L(u(t) + iv(t)) = L(u(t)) + iL(v(t)) ⇔ L(u(t)) = 0 , L(v(t)) = 0

Puesto que u(t), v(t) son funciones vectoriales reales

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden lineal con coeficientes constantes es un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que, expresado en forma explıcita, es

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Con a i j ∈ R (y fj ∈ C∞(R)). En forma vectorial se tiene

[pic 27]

Donde la matriz de coeficientes es constante

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