Sistemas de ecuaciones diferenciales

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS[pic 1][pic 2]

FACULTAD DE INGENIERIA CAMPUS I

Ecuaciones Diferenciales

Sistemas de ecuaciones diferenciales

Docente: Guadalupe Nayeli Pérez Domínguez

3° “D”

José Ángel Saldaña Lizaola

24/11/2021

¿Qué es un sistema de ecuaciones diferenciales?

Cuando se estudia matemáticamente una situación de la realidad, el modelo que se obtiene suele tener un carácter no lineal, siendo esto lo que le confiere, en la mayoría de los casos, una gran dificultad. Uno de los procedimientos más utilizados dentro de la Matemática, y de la Ciencia en general, cuando se aborda un problema difícil, es considerar un problema más sencillo que sea, en algún sentido, una buena aproximación del anterior. Al estudiar este segundo problema se intenta obtener, de las conclusiones, algún tipo de resultado para el problema primitivo. Una de las formas más usuales de simplificar el problema es linealizarlo. Si se quiere estudiar un problema no lineal, el primer paso obligado es estudiar el problema lineal asociado de la manera más completa posible para poder analizar así que ocurrirá en el caso no lineal. El estudio de los sistemas lineales no es difícil y en numerosas ocasiones se pueden obtener resultados concluyentes pues la estructura algebraica de las soluciones es sencilla y a veces se puede dar una descripción de la misma en términos de funciones elementales.

Un sistema de ecuaciones diferenciales de orden superior se transforma en un sistema de primer orden añadiendo más variables. Por esta razón el capítulo se centra en el estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. La sección 1 comienza realizando una primera aproximación entre los sistemas lineales y las ecuaciones diferenciales de orden superior y estableciendo los teoremas de existencia y unicidad. En la sección 2 se desarrolla la teoría general de la estructura de las soluciones de los sistemas lineales de primer orden que es similar a la de las ecuaciones lineales de orden superior. Así el conjunto de soluciones de un sistema lineal de primer orden homogéneo tiene estructura de espacio vectorial y el no homogéneo de espacio afín. La sección 3 está centrada en los métodos de resolución de los sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes Utilizando la teoría algebraica para calcular los autovalores y auto vectores de una matriz se establece un procedimiento que permite resolver el sistema. Otra forma de resolver sistemas lineales es utilizando la exponencial de una matriz, que es el contenido de la sección 4. El capítulo termina con la sección 5 en la que se desarrollan los métodos de resolución de sistemas lineales no homogéneos, en los que de nuevo se observa un paralelismo con los estudiados en el capítulo anterior para resolver las ecuaciones lineales completas de orden superior.

Un sistema de k ecuaciones diferenciales de orden superior n expresado de la forma f(x, y(x), y'(x), y’’(x), …, yn(x)) = 0 se denomina lineal cuando la función vectorial fes una función lineal con respecto a la función y(x) y a todas sus derivadas.

En particular un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden expresado de la forma f(x, y(x), y’(x)) = 0 se denomina lineal cuando la función vectorial fes una función lineal respecto a y(x) y y’(x)

Cuando es posible despejar y el sistema se escribe de la siguiente forma:[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

                                                …                [pic 6]

[pic 7]

siendo f1, f2, …, fn funciones lineales respecto a las variables , Es decir, también se puede expresar:[pic 9][pic 8]

        y’1(x)=a11(x)y₁(x)+a12(x)y₂(x)+…+a1n(x)yn(x)+b1(x)

        y’2(x)=a21(x)y₁(x)+a22(x)y₂(x)+…+a2n(x)yn(x)+b₂(x)

        y’n(x)=an1(x)y₁(x)+an2(x)y₂(x)+…+ann(x)yn(x)+bn(x)

siendo aij(x) y bi(x) funciones definidas en un intervalo (a, b). ∀i, j[pic 10]

¿Cómo se representa un sistema de ecuaciones diferenciales?

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