Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de ecuaciones de la forma:

[pic 1]

Reducción a un sistema de primer orden

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de orden n con m ecuaciones:

[pic 2]

Existe un sistema equivalente de primer orden con a lo sumo (n+1)xm ecuaciones. Para ver esto consideremos un sistema en que intervienen m funciones incógnitas xi y sus n derivadas, e introduzcamos un nuevo conjunto de variables yi,k definidos de la siguiente manera:

[pic 3]

El sistema de primer orden equivalente en las variables yi,k resulta ser:

[pic 4]

Como ejemplo de reducción de un sistema de ecuaciones diferenciales podemos considerar las ecuaciones de movimiento de la mecánica newtoniana de una partícula que es un sistema de segundo orden con tres ecuaciones:

[pic 5]

Si se introducen tres funciones incógnitas nuevas que representan la velocidad, el sistema anterior se puede reducir a un sistema de primer orden y seis ecuaciones:

[pic 6]

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos.

Definición de sistemas de ecuaciones diferenciales homogéneos. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es homogéneo si f(t) y g(t) son iguales a cero.

Ejemplo:    

                  Homogéneo                              No Homogéneo

1.                                         b) [pic 7][pic 8]

Solución general y solución particular de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. 

Definición de solución general de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Es un conjunto de funciones, que poseen parámetros arbitrarios (constantes arbitrarias) y al menos n derivadas continuas sobre un intervalo, que al ser sustituidas en las ecuaciones diferenciales se produce una identidad.

EJEMPLO

Sea el sistema que se indica.

1.  [pic 9]

La solución general, se obtiene usando

        y = C1cos3t + C2sen3t - [pic 10]

        x = C3cos3t + C4sen3t + [pic 11]

como se ve hay parámetros arbitrarios c1, c2, c3 y c4. El número de constantes depende del orden de la ecuación.

Definición de solución particular del sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Es un conjunto de funciones, que están libres de parámetros arbitrarios (constantes arbitrarias), y al menor con n derivadas continuas sobre un intervalo que al ser sustituidas en las ecuaciones diferenciales, se produce una identidad.

Ejemplo:

Sea el sistema que se indica

        [pic 12]

        [pic 13]

Sujeto a las condiciones iniciales: x0 =x´(0) = y(0) = y'(0) = 0

Entonces la solución particular que produce las condiciones iniciales es:

X(t) = 5sent – 4 sen2t + sen3t

Y(t) = 10sent + 4sen2t – 6sen3t

Métodos de solución para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Existen varios métodos disponibles para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, algunos pueden tener ventajas en situaciones particulares y pueden en ocasiones acortar el trabajo.

Método de los operadores. Supóngase que D, denota la diferenciación con respecto a x. D^2 la diferenciación con respecto a x, así sucesivamente hasta n.

        [pic 14]

Entonces la expresión:

        [pic 15]

Se llama un operador diferencial de arden n. El cual puede definirse como el operador que, cuando es aplicado a cualquier función "у”, procure el siguiente resultado.

        [pic 16]

Los coeficientes ao, a1,…, an en el operador A pueden ser funciones de z, pero sólo usaremos operadores con coeficientes constantes.

...