Ecuaciones diferenciales ordinarias
Enviado por Franklin Zuta Cruz • 22 de Diciembre de 2022 • Documentos de Investigación • 809 Palabras (4 Páginas) • 160 Visitas
[pic 1]
[pic 2]
Al finalizar la sesión el estudiante conoce la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias para resolver de manera autónoma diferentes situaciones problemáticas.
CONTENIDO
Ecuaciones diferenciales ordinarias
- Orden y grado.
- Ecuaciones diferenciales lineales.
- Definición de solución.
- Soluciones particulares y generales. Problemas de valor inicial.
[pic 3]
Muchas de las leyes de la naturaleza, en física, química y otras ciencias encuentran su expresión más natural en las ecuaciones diferenciales ordinarias.
En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus ritmos de variación están relacionadas entre sí por medio de los básicos que gobiernan dicho proceso. A manera de ejemplo, podemos ver como se formula la segunda ley de Newton, la cual se establece por medio de ecuaciones que incluyen derivadas:
[pic 4]
m d 2 y = F
[pic 5]
dt 2
[pic 6]
[pic 7]
DEFINICIONES BÁSICAS
[pic 8]
Se entiende por ecuación diferencial cualquier ecuación en la que interviene una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes.
[pic 9]
Clasificación por tipo
[pic 10]
Si una ecuación contiene sólo derivadas de una o más variables dependientes respecto a una sola variable independiente, se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO).
[pic 11]
Una ecuación que involucra derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables dependientes se denomina ecuación diferencial parcial (EDP).
[pic 12][pic 13][pic 14]
[pic 15]
DEFINICIONES BÁSICAS
Clasificación por tipo
Ecuaciones diferenciales ordinarias
2 | |||||||||
+5= ; | − | +6 =0; | + | =2 + | |||||
2 | |||||||||
[pic 16][pic 17]
Ecuaciones diferenciales parciales
22
[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]
2 2
=− = −2
[pic 24]
[pic 25]
Clasificación por orden
El orden de una ecuación diferencial está dada por el orden de la mayor derivada en la ecuación.
[pic 26][pic 27]
2
3
[pic 28]
+5 −4=
2
El ejemplo muestra una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. A veces las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se escriben en la forma diferencial
, + , =0
[pic 29][pic 30]
La forma normal de una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden está dado por:
[pic 31]
= , , ′, ′′,⋯, ( −1)
[pic 32]
Clasificación por linealidad
[pic 33]
Se dice que una ecuación diferencial de n-ésimo orden , , ′, ′′, ⋯ , = 0 es lineal si F es lineal en , ′, ′′, ⋯ , .
+ −1 | −1 | ||||
+⋯+ 1 | + 0 | = | |||
−1 |
Dos casos especiales e importantes son las ED lineales de primer orden (n = 1) y segundo orden (n = 2).
Lo característico de las ecuaciones lineales son:
- La variable dependiente “y” y todas sus derivadas ′, ′′, ′′′, ⋯ , ( ) son de primer grado, es decir,
la potencia de cada término que contiene “y” es igual a 1,
[pic 34][pic 35]
• Los coeficientes 0 [pic 36], 1 [pic 37], ⋯ , [pic 38] dependen de la variable independiente “x”.
[pic 39]
DEFINICIONES BÁSICAS
Clasificación por linealidad
Ecuaciones diferenciales lineales
2
[pic 40]
−+4 =0
[pic 41][pic 42]
2
−2 +=0
[pic 43]
Ecuaciones diferenciales no lineales
2 | 4 | |||||
1− ′+2 = | += 0 | + 2 | = 0 | |||
2 | 4 |
[pic 44][pic 45][pic 46]
[pic 47]
Solución DE UNA EDO
[pic 48]
Se denomina una solución de la ecuación en el intervalo a cualquier función , definida en un intervalo I y que contiene al menos n derivadas continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reducen la ecuación a una identidad.
...