Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

1. Definición de ecuación diferencial.

Dice que una ecuación diferencial o por sus siglas (ED), va a ser una ecuación que estará relacionada de tal manera que no tiene importancia a una función que se desconoce o una o mas de las derivadas de dicha función desconocida con respecto a una o mas variables independientes. Si se desconoce la función que depende de una sola variable en la ED se llama ordinaria, por otro lado, si tiene que depender de más de una variable se llamara parcial. Debido a que estas relaciones son tan comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un papel fundamental en muchas disciplinas, incluidas la ingeniería, la física, la química, la economía y la biología.

1. Tipos de soluciones:

1.  Solución implícita: Esta solución es que la s variables dependientes se van a expresar tan solo con términos de la variable independientes, va a llamar la solución explicita. Donde tendrá una relación (x, y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación va a satisfacer la relación con la ecuación diferencial, es decir que G (x, y) = 0, ósea que se va a definir implícitamente a la función.

1.  Solución explicita: Se va a llamar solución explicita cuando una ecuación diferencial en una función, que se va a poder escribir de la forma y = F(x), en cierto intervalo.

1.  Solución formal: Cuando nos haga falta calcular una función y no existe una solución explicita en la ecuación es donde se dice que vamos a tener una solución formal. Ahora bien, para esta solución tenemos que entender la solución para el problema representada en una seria de potencias uniformemente convergentes.

1.  Solución paramétrica: Ya que a menudo será más fácil dar ciertas soluciones paramétricas en las ecuaciones finitas, están consistirán en un par de funciones de un parámetro, x = f(t) e y = g(t), esto convierte a la ecuación diferencial en una entidad.

1.  Solución general: Se le llamará solución general donde hay varias soluciones de una ecuación de orden n, que dependerá de n cantidad de parámetros independientes. Entonces una solución que contiene una o mas constantes arbitrarias, se le llamará una solución general en la ecuación diferencial que corresponderá a toda una familia de funciones.

1.  Solución particular: Cuando cada elección de ciertos valores en los parámetros de una familia de soluciones, vamos a obtener una solución particular. Para esta solución de una ecuación diferencial, se va a obtener a través de cierta informacion que vamos a obtener, y que nos permitirá asignar valores específicos a las constantes que aparecerán en la solución general.

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1. Campos de pendientes.

Cuando una solución analítica en una ecuación diferencial es difícil de poder determinarla o simplemente no se puede ser determinada, hay que recurrir o contar con una representación grafica de la solución. A esto se le llama campo de pendientes, serán pequeñas partes que indicaran la derivada en un conjunto de puntos (x, y), es una buena alternativa para poder visualizar la curva o curvas de solución.

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1. Ecuaciones diferenciales lineales

Será aquella en la cual la ecuación diferencial tendrá soluciones donde pueden obtenerse mediante combinaciones lineales de otras soluciones, estos pueden ser ordinarias o en derivadas parciales, las soluciones de las ecuaciones lineales van a ser homogéneas que van a formar un espacio vectorial.

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