ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS NO EXACTAS

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS NO EXACTAS

Factor integrable

El factor integrable es aquel polinomio por el cual se debe multiplicar toda ecuación diferencial que se compruebe que no es exacta para poder convertirla a exacta

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Comprobación

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Con factor integrable

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Caso 1  [pic 6]

El valor debe ser solo en función de x o una constante

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Procedimiento de solución

1. Comprobar que la ecuación tenga la forma de E.D Exacta o puede transformarse a esta a base de arreglos algebraicos
2. Comprobar por medio de una ecuación si en realidad es una E.D. Exacta de lo contrario se procede a aplicar el método con el cual se nos convierta en factor integrable
3. Se identifica las diferentes derivadas parciales.
4. Se ingresa las ecuaciones obtenidas de las derivadas parciales y de la E.D
5. Se calcula la función f(x)
6. Se procede a integrar, y se encuentra el factor integrable u
7. Se resuelve la E.D. Exacta por cualquiera de los métodos estudiados anteriormente.

Ejercicio:

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Comprobación

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Factor integrante

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[pic 19]

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[pic 21]

Comprobación

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[pic 23]

Solución

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Tercer método

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[pic 27]

Caso 2

Método de Solución:

• Comprobar si la ecuación es exacta, derivando  y  siendo A los términos acompañados por dr y B los términos con ds.[pic 28][pic 29]
• Si la ecuación no es exacta se procede a encontrar el factor integrante con:    [pic 30]

Donde:

                        [pic 31]

• La ecuación debe quedar solo en términos de s para que se pueda resolver por el caso 2.
• Luego de obtener el factor de integración se lo multiplica por la ecuación inicial.
• Se verifica que se haya convertido en exacta y se integra utilizando el método más adecuado.

Ejercicio 2.

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Comprobación

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Factor integrante

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Comprobación

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[pic 45]

Solución

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Tercer método

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[pic 49]

Caso 3

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[pic 51]

[pic 52]

Procedimiento de solución

1. Comprobamos si la ecuación diferencial ordinaria es exacta.

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1. Luego de ello comprobamos que sea el tercer caso de factor integrante.

[pic 54]

1. Si es el tercer caso realizamos lo siguiente:

[pic 55]

1. Encontramos nuestro          que al ser multiplicados por N y M respectivamente nos dará una igualdad con    …[pic 56][pic 57]
2. Luego encontramos  y [pic 58][pic 59]
3. Obtenemos   [pic 60]
4.   Multiplicamos  en la ecuación original..[pic 61]
5. Volvemos a comprobar si la ecuación es exacta.
6. Finalmente resolvemos la ecuación exacta por cualquier método ya estudiado.

Ejercicio.

[pic 62]

Comprobación

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Factor integrante:

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 Encontramos f(x) y g(y)

[pic 73]

[pic 74]

Encontramos        [pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

Multiplicamos           en la ecuación original[pic 78]

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Comprobación

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[pic 81]

Solución

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Tercer método

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Caso 4

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Método de solución:

1. Multiplicamos la ecuación diferencial por , el cual es el factor integrante que debemos hallar, donde .[pic 88][pic 89]
2. Una vez realizada la multiplicación procedemos a derivar  y  .[pic 90][pic 91]

[pic 92]

1. De la ecuación derivada extraemos  similares que exista en las mismas para de esta manera plantar una ecuación con los coeficientes, formándose un sistema de ecuaciones de dos incógnitas. [pic 93]
2. Hallar la solución del sistema de ecuación por cualquier método, reemplazar en  y de esta manera se obtendrá una ecuación diferencial exacta que se puede resolver por cualquier método. [pic 94]

Ejercicios

Resolver el siguiente ejercicio por el cuarto método de factor integrante.

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