Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

        Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales tienen gran importancia para el ingeniero y el físico porque, a menudo, los problemas prácticos conducen a ecuaciones diferenciales  que no pueden resolverse mediante métodos matemáticos, o ha ecuaciones para los que las soluciones en términos de formulas son tan complicadas que es preferible calcular una tabla de valores aplicando un método numérico a las ecuaciones.

        Estudiaremos 3 métodos para resolver dichas ecuaciones diferenciales:

• Método de Euler o método de Euler-Cauchy
• Método de Euler mejorado o Euler-Cauchy mejorado o método de Heun
• Método de Runge-Kutta.

Método de Euler o método de Euler-Cauchy

Dado el problema del valor inicial ; el método de Euler, con tamaño de paso , consiste en aplicar la formula iterativa:[pic 1][pic 2]

 Para calcular aproximaciones sucesivas  a los valores verdaderos de la solución exacta  en los respectivos puntos [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Ejercicios

1. Aplicar el método de Euler para calcular la solución aproximada del problema del valor inicial . Utilice  en el intervalo .[pic 7][pic 8][pic 9]

Solución:

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        Método de Euler mejorado o Euler-Cauchy mejorado o método de Heun

        Para aumentar la exactitud de la técnica básica de Euler, podemos considerar de la formula Euler un valor auxiliar, la cual es:

[pic 19]

Para luego calcular el nuevo valor, el cuál es:

[pic 20]

Este método es un ejemplo de método predictor-corrector. La primera formula es el predictor usado como un primer intento para la siguiente aproximación. La segunda Formula es el correcto que se usa para mejorar el valor del primer intento.

        Ejercicios

1. Aplicar el método de Euler mejorado para calcular la solución aproximada del problema del valor inicial . Utilice  en el intervalo .[pic 21][pic 22][pic 23]

Solución:

Encontremos una expresión general combinando la primera y la segunda ecuación, así:

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        Método de Runge-Kutta

        Es un método aún más exacto, en cada paso primero se calculan 4 cantidades auxiliares  y luego se calculan el nuevo valor [pic 37][pic 38]

Donde: [pic 39]

 [pic 40]

        Ejercicios

1. Resolver el problema del valor inicial  aplicando el método de Runge-Kutta para  con paso [pic 41][pic 42][pic 43]

Solución:

Tenemos que:  entonces [pic 44][pic 45]

• Primero Iteración para n = 0; x0 = 0

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• Segunda Iteración para n = 1; x1 = 0,1

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• Tercera Iteración para n = 2; x2 = 0,2

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• Cuarta Iteración para n = 3; x3 = 0,3

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