Modelos Matematicos De Sistemas Fisicos

2.1. Sistemas eléctricos y electrónicos.

Para efectuar el análisis de un sistema es necesario obtener un modelo matemático que lo represente. Este modelo matemático equivale a una ecuación matemática o a un conjunto de ellas.

Es una serie de elementos eléctricos o electrónicos conectados entre si con el fin de generar, transportar o modificar señales eléctricas o electrónicas.

Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las leyes de corrientes y voltajes de Kirchhoff. La ley de corrientes de Kirchhoff (la ley de nodos) plantea que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es cero. (Esta ley también puede plantearse del modo siguiente: la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo.) La ley de voltajes de Kirchhoff (la ley de mallas) establece que en cualquier instante determinado la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier malla en un circuito eléctrico es cero. (Esta ley también se plantea del modo siguiente: la suma de las caídas de voltaje es igual a la suma de las elevaciones de voltaje alrededor de una malla.) Un modelo matemático de un circuito eléctrico se obtiene aplicando una o ambas leyes de Kirchhoff.

Circuito LRC. Considérese el circuito eléctrico que aparece en la Figura a). El circuito está formado por una inductancia L (henrios), una resistencia R (ohmios) y una capacitancia C (faradios). Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff al sistema, se obtienen las ecuaciones siguientes:

L di/dt+Ri+1/C ∫▒〖i dt〗=e_i (1)

1/C ∫▒〖i dt〗=e_0 (2)

Figura a). Circuito Eléctrico

Las Ecuaciones (1) y (2) dan un modelo matemático del circuito.

Un modelo mediante la función de transferencia del circuito también se obtiene del modo siguiente. Se toma la transformada de Laplace de las Ecuaciones (1) y (2) y se suponen condiciones iniciales iguales a cero, para obtener

LsI(s)+RI(s)+1/C 1/s I(s)=E_i (s)

1/C 1/s I(s)= E_0 (s)

Si se supone que e_i es la entrada y e_0 la salida, la función de transferencia de este sistema resulta ser

(E_o (s))/(E_i (s) )=1/(LCs^2+RCs+1) (3)

Un modelo en el espacio de estados del sistema, como el que aparece en la Figura a), se obtiene del modo siguiente. Primero, se observa que la ecuación diferencial para el sistema se obtiene a partir de la Ecuación (3) como

e ̅_0+R/L e ̇_0+1/LC e_0=1/LC e_i

Después, si se definen las variables de estado mediante

x_1=e_0

x_2=e ̇_o

y las variables de entrada y salida mediante

u=e_i

y=e_0=x_1

Se obtiene

[■(x ̇_1@x ̇_2 )]=[■(0&1@-1/LC&-R/L)][■(x_1@x_2 )]+[■(0@1/LC)]u

Y

y=[■(1&0)][■(x_1@x_2 )]

Estas dos ecuaciones dan unos modelos matemáticos del sistema en el espacio de estados.

Figura b) Sistema eléctrico

Funciones de transferencia de elementos en cascada. Muchos sistemas realimentados tienen componentes que se cargan uno al otro. Considérese el sistema de la Figura b). Supóngase que e_i es la entrada y e_0 la salida. Las capacitancias C_1 y C_2no cambian inicialmente. Se verá que en la segunda etapa del circuito (la parte R_2 C_2) produce un efecto de carga en la primera etapa (la parte R_1 C_1). Las ecuaciones para este sistema son

1/C_1 ∫▒(i_1-i_2 ) dt+R_1 i_1=e_i (4)

1/C_1 ∫▒(i_2-i_1 ) dt+R_2 i_2+1/C_2 ∫▒〖i_2 dt〗=0 (5)

1/C_2 ∫▒〖i_2 dt〗=e_0 (6)

Si se considera la transformada de Laplace de las Ecuaciones (4) a (6) y se suponen condiciones iniciales de cero, se obtiene

1/(C_1 s) [I_1 (s)-I_2 (s)+R_1 I_1 (s)=E_i (s) (7)

1/(C_1 s) [I_2 (s)-I_1 (s)+R_2 I_2 (s)+1/(C_2 s) I_2 (s)=0 (8)

1/(C_2 s) I_2 (s)=E_0 (s) (9)

Si se elimina I_1 (s) de las Ecuaciones (7) y (8) y se escribe E_i (s)en términos de I_2 (s), se encuentra que la función de transferencia entre E_0 (s) y E_i (s) es

(E_0 (s))/(E_i (s) )=1/(〖(R〗_(1 ) C_1 s+1)〖(R〗_(2 ) C_2 s+1)+R_(1 ) C_2 s)=1/(〖(R〗_(1 ) C_1 R_(2 ) C_2 s^2+〖(R〗_(1 ) C_1+R_(2 ) C_2+R_(1 ) C_2)s+1) (10)

El término R1C2s en el denominador de la función de transferencia representa la interacción de dos circuitos RC sencillos. Como (R_(1 ) C_1+R_(2 ) C_2+R_(1 ) C_2 )^2>4R_(1 ) C_1 R_(2 ) C_2, las dos raíces del denominador de la Ecuación (10) son reales. El análisis presente muestra que, si se conectan dos circuitos RC en cascada, de modo que la salida del primer circuito es la entrada del segundo, la función de transferencia general no es el producto de 1/〖(R〗_(1 ) C_1 s+1) y 1/〖(R〗_(2 ) C_2 s+1). Esto se debe a que, cuando se obtiene la función de transferencia para un circuito aislado, se supone implícitamente que la salida no está cargada.

Impedancias complejas. En las funciones de transferencia para circuitos eléctricos, a menudo resulta conveniente escribir las ecuaciones transformadas directamente mediante el método de Laplace, sin escribir las ecuaciones diferenciales. Considérese el sistema que aparece en la Figura C) [(a)]. En este sistema, Z_1 y Z_2representan impedancias complejas. La impedancia compleja Z(s) de un circuito de dos terminales es el cociente entre E(s), la transformada de Laplace del voltaje a través de las terminales, e I(s), la transformada de Laplace de la corriente a través del elemento, suponiendo que las condiciones iniciales son cero; por tanto, Z(s)=E(s)/I(s). Si los elementos de dos terminales son una resistencia R, una capacitancia C o una inductancia L, la impedancia compleja se obtiene mediante R,1/Cs o

...