Resolución De Ecuaciones Lineales Con más De Dos Incógnitas

Resolución de ecuaciones lineales con más de dos incógnitas

La resolución de los sistemas de ecuaciones lineales con más de dos incógnitas ocupó durante los siglos XVI y XVII a una brillante escuela de algebristas, principalmente italianos. Sus ingeniosos métodos algebraicos aún siguen proponiéndose como alternativa a la teoría de matrices que fue desarrollada y refinada en los siglos posteriores.

Sistemas de ecuaciones lineales escalonados

Uno de los procedimientos conceptualmente más sencillos para resolver sistemas cuadrados (con igual número de incógnitas y ecuaciones) de más de dos ecuaciones se basa en la llamada forma escalonada. Esta técnica consiste en transformar sucesivamente, según cualquiera de los métodos algebraicos comunes (sustitución, igualación o reducción), el sistema de ecuaciones en otro equivalente que tenga forma escalona.

Método de Gauss

En la resolución de sistemas cuadrados con tres incógnitas se utiliza un procedimiento escalonado, conocido por método de Gauss, que consiste en una generalización del método de reducción (ver t6). Este método, aplicable también a otras resoluciones, debe su nombre a su descubridor, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Según el método de Gauss, el sistema original se va transformando en otros, hasta obtener un sistema equivalente final con:

• Una primera ecuación con tres incógnitas x, y, z.

• Una segunda ecuación con dos incógnitas y, z.

• Una tercera ecuación con una incógnita z.

Se resuelve la tercera ecuación para obtener z, se sustituye en la segunda y se obtiene y, y se reemplazan y, z en la primera para resolver completamente el sistema.

Ejemplo de resolución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por el método de Gauss.

Sistemas lineales homogéneos

Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo cuando los términos independientes de todas sus ecuaciones son nulos.

Para tres ecuaciones, la expresión general de un sistema lineal homogéneo es siguiente:

Todos estos sistemas son compatibles, ya que tienen una solución trivial para x1 = x2 = x3 = 0. No obstante, las raíces realmente interesantes del sistema, si existen, son las llamadas soluciones propias, de manera que si x1 = s1, x2 = s2, x3 = s3fueran soluciones propias, también lo serían x1 = s1, x2 = s2, x3 = s3,  R, siendo   0.

Las soluciones propias de los sistemas lineales homogéneos se pueden obtener por aplicación del método de Gauss o mediante operaciones con matrices representativas del sistema (ver t18).

Sistemas dependientes de un parámetro

Cuando alguno de los coeficientes o términos independientes de una ecuación dentro de un sistema de ecuaciones lineales es un parámetro, el sistema se denomina dependiente de un parámetro.

Los

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