Matemática: Distribución de Probabilidad Binomial
Enviado por 250320 • 29 de Noviembre de 2015 • Trabajo • 3.623 Palabras (15 Páginas) • 287 Visitas
Distribución de Probabilidad Binomial.
Definición.
Un experimento de Bernoulli puede resultar en un éxito con una probabilidad p y en un fracaso con una probabilidad de q = 1−p. Entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el número de éxitos en n experimentos independientes, es:
b(x;n,p) =[pic 1] x = 0, 1, 2, 3,.........., n.
La media es:
E(X)= np
Demostración:
Por definición:
[pic 2]
Donde:
[pic 3]
Por lo que:
[pic 4]
Si x = 0:
[pic 5]
Por lo que la suma se empieza con x = 1
[pic 6]
Como:
[pic 7]
Y
(p +q) = 1
Por lo que:
[pic 8]
Por lo tanto:
[pic 9]
La varianza es:
σ2 = npq
Demostración:
Por definición:
[pic 10]
Desarrollando el cuadrado:
[pic 11]
Rescribiendo:
[pic 12]
Entonces:
[pic 13]
Separando la suma:
[pic 14]
Realizando las sumas por separado:
[pic 15]
[pic 16]
La sumatoria:
[pic 17]
Y como:
(p + q) = 1
Por lo que:
[pic 18]
[pic 19]
Como:
[pic 20]
Entonces:
[pic 21]
[pic 22]
De donde:
[pic 23]
Como: (p + q) = 1
Por lo tanto:
[pic 24]
De la sumatoria:
[pic 25]
Sustituyendo los valores obtenidos de las sumatorias queda la siguiente igualdad:
[pic 26]
Simplificando:
[pic 27]
Por lo tanto: [pic 28]
La desviación estándar es:
σ = [pic 29]
Ejercicios.
1.- La probabilidad de tener en un proceso de manufactura una pieza defectuosa es del 25%.
Si se toma una muestra aleatoria de 5 piezas. Calcular:
a.- La probabilidad de tener 0, 1, 2, 3, 4, 5 piezas defectuosas,
b.- La media y la varianza.
2.- Si el 35% de las personas que acuden a un centro comercial terminan por comprar algún producto. Calcular la probabilidad de que de 15 personas: ninguna, uno, no más de dos, más de uno compre algún producto.
3.- El 35% de los empleados de Wall-Mart desean afiliarse a un sindicato independiente. Si se toma una muestra de 10 empleados calcular la probabilidad de que:
a.- Cuando menos tres deseen pertenecer al sindicato independiente.
b.- Por lo menos uno desee estar en el sindicato independiente.
4.- La probabilidad de que un estudiante de la Facultad de Economía no termine el primer año es del 20%. Considerando una muestra de 14 estudiantes. Calcular la probabilidad de que:
a.- Ninguno
b.- Uno exactamente
c.- No más de uno
d.- Más de uno
e.- Por lo menos uno
Termine el primer año.
5.- La Comercial Mexicana coloca a la venta, en un de sus departamentos, dos artículos a precios rebajados. El 35% de los artículos son del artículo A, el resto de los artículos son del precio B. Un fin de semana se venden en dicho departamento 15 unidades, calcular la probabilidad de que:
a.- Tres sean del precio A
b.- Cuando mucho dos sean del precio B
c.- Las 15 sean del precio A
d.- Las 15 sean del precio B
6.- La probabilidad de que un chip funcione adecuadamente es del 85%. Si se colocan 6 chips, calcular la probabilidad de que:
a.- Tres funcionen de manera adecuada
b.- Cuando mucho funcionen dos
c.- A lo más funcionen tres
7.- Se ha puesto a la venta un nuevo medicamento para controlar el stress, de 25 personas consultadas, el 30% ha sufrido algún tipo de efecto negativo. Se pide calcular la probabilidad de que:
a.- Ninguna sufra efectos negativos?
b.- Todas sufran efectos negativos?
c.- Al menos una sufra efectos negativos?
8.- Basándose en encuestas realizadas por la empresa Pracma, se sabe que la preferencia por dos marcas, marca A y marca B de limpieza, es la misma. Calcular la probabilidad de que de 20 personas consultas:
a.- Tres prefieran la marca A
b.- Cuando mucho tres deseen la marca A
c.- A lo más uno prefiera la marca B
9.- A un grupo que estudia Historia de México, que está compuesto por 10 mujeres y 5 hombres, se les hace una pregunta, cuya respuesta es si o no, calcular la probabilidad de que:
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