Matemáticas IIIPuntos y rectas notables en un triángulo

• Puntos y rectas notables en un triángulo: Entre las rectas notables más conocidas de un triángulo veremos las mediatrices, las medianas, las alturas y las bisectrices; Y, sobre sus puntos notables asociados: el circuncentro, el baricentro, el ortocentro y el incentro, respectivamente.

Rectas notables del triángulo:

Mediatriz de un segmento

Es importante recordar que la mediatriz de un segmento, es una recta perpendicular al mismo, cuyos puntos equidistan de los extremos del mismo (por lo tanto, lo divide exactamente a la mitad).[pic 1]

Bisectriz de un ángulo

Es un concepto similar al anterior, pero esta vez referido a un ángulo. Se llama bisectriz de un ángulo, a la semirrecta interior que divide el ángulo en dos partes iguales, cuyos puntos equidistan de los respectivos lados del ángulo.

Alturas del triángulo[pic 2]

Se llaman alturas de un triángulo, a cada uno de los segmentos perpendiculares que van desde un vértice a su lado opuesto o a su prolongación (depende del triángulo, como podemos ver en las siguientes imágenes). Se deduce de la definición anterior, que todo triángulo tiene tres alturas.

[pic 3]

Mediana de un triángulo

Recuerda que se llama mediana de un triángulo al segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Un triángulo, como es sencillo de suponer, tiene tres medianas.

Puntos notables del triángulo:

[pic 4]

Circuncentro:

Es el punto donde coinciden las tres mediatrices de sus lados. La imagen muestra claramente de qué estamos hablando.

Incentro[pic 5]

Es el punto donde coinciden las tres bisectrices de sus ángulos. La imagen muestra claramente de qué estamos hablando.

[pic 6]

Ortocentro

Es el punto donde coinciden las tres alturas del triángulo. La imagen muestra claramente de qué estamos hablando.

[pic 7]

Baricentro

Es el punto donde coinciden las tres medianas del triángulo. La imagen muestra claramente de qué estamos hablando.

• Definición de circunferencia: Define a una línea curva cerrada, que se caracteriza por la ubicación de sus puntos, ya que éstos se encuentran localizados a la misma distancia de otro punto llamado centro. La circunferencia a su vez, se encuentra integrada por un conjunto de elementos, algunos de ellos son: el radio, diámetro, la cuerda y el arco.  [pic 8]

[pic 9]

• Ecuaciones de la circunferencia: Para determinar la ecuación ordinaria de la circunferencia se toma como ejemplo una circunferencia cualquiera con centro en un valor C con coordenadas (A,B) y cuyo radio (r) llega hasta el punto (x,y).

Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo cuyos lados miden (x-A) y (y-B) y su hipotenusa es r y aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene.[pic 10]

[pic 11]

Ecuación canónica de la circunferencia

Cuando la circunferencia tiene el centro en el origen sin importar el radio se conoce como circunferencia canónica como la que se presenta a continuación.

Esta circunferencia se puede describir con la ecuación canónica de la circunferencia.[pic 12]

Por lo tanto, la ecuación que representa la circunferencia de radio 3 con centro en el origen será:

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