Productos Notables

PRODUCTOS NOTABLES

Definición

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

1. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

2. Binomio de Suma al Cuadrado

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

3. Binomio Diferencia al Cuadrado

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

4. Diferencia de Cuadrados

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

= a3 + b3 + 3 ab (a + b)

5. Binomio Suma al Cubo

( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

6. Binomio Diferencia al Cubo

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

7. Suma de dos Cubos • Diferencia de Cubos

a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

• Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

• Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

• Identidades de Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

• Producto de dos binomios que tienen un término común

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

•

Factor común

Representación gráfica de la regla de factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es

(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).

Ejemplo

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

un trinomio de la forma: , se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Ejemplo

simplificando:

Producto de dos binomios con un término común

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

Ejemplo

agrupando términos:

luego:

Producto de dos binomios conjugados

Véase también: Conjugado (matemática)

Producto de binomios conjugados.

Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

Ejemplo

agrupando términos:

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Polinomio al cuadrado

Elevando un trinomio al cuadrado de forma gráfica

Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

Ejemplo

multiplicando los monomios:

agrupando términos:

luego:

Binomio al cubo o cubo de un binomio

Descomposición volumétrica del binomio al cubo

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo

agrupando términos:

Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo

agrupando términos:

Identidad de Argand

Identidades de Gauss

Identidades de Legendre

Identidades de Lagrange

Otras identidades

Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales productos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, que aunque menos usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:

adicion de cubos

diferencia de cubos

Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de factorización ya que los productos tienen una forma particularmente simétrica pero el resultado sí (contrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo).

La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias n-ésimas:

Suma de potencias n-ésimas

Sí y sólo si "n" es impar,

Diferencia de potencias n-ésimas

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con el teorema del binomio.

Existe una ingeniosa fórmula para representar un cubo como suma de dos cuadrados:

Términos

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