Matrices.

Matrices :

Les 3 opérations élémentaires que l’on a le droit de faire sur les matrices :

• On peut multiplier toute une ligne par un même réel

• On peut additionner 2 lignes linéairement

• On peut swaper 2 lignes

Multiplier 2 matrices :

plus généralement :

On multiplie linéairement la ligne x de le 1e matrice par la colonne y de la 2è, on met le résultat dans la case x,y pour la destination… La multiplication de matrices n’est pas commutative.

Trouver l’inverse d’une matrice (matrices carrées):

Tel que . Toutes les matrices carrées ne sont pas inversibles.

Soit X et Y 2 matrices à 1 colonne et autant de lignes que A.

Voilà comment ou retrouve l’inverse s’il existe :

, donc en multipliant, cela équivaut à , on résoud donc le système :

(Il est important, à la sortie du systèmes, d’avoir conservé l’ordre de c et d, et de a et b pour repasser en matrices, sinon, les 3 opérations élémentaires sont à disposition ! !)

En remettant ça sous matrice, on a :

, on a bien Y = quelque chose * X, et en regardant plus haut, ce quelque chose, c’est

Transformer une application linéaire en matrice :

Soit : , de

Prenons la base canonique de l’espace de départ :

, calculons les images de ces bases :

Une matrice associée à cette application s’écrit :

(on écrit les U(e) en colonne)

Echelonnage d’une matrice, et détermination des dimensions :

Utilisation du pivot de Gauss avec la matrice : on cherche à triangulariser la matrice à l’aide des 3 opérations élémentaires.

La diagonales encadrée ici montre l’entrée principale de la colonne, la colonne 3 n’a pas d’entrée principale (= 0), on a 2 colonne à partir de cette colonne sans entrée principale (la 3 et la 4), cela fait 2 colonnes, et ce 2, c’est la dimension du Ker !

Quant aux 2 autres colonnes (avant la 3), elles sont 2, c’est la dimension de Im !

Base du KER :

Trouvons x, y, z, t de l’ensemble E de départ tel que U(x, y, z, t) = (0, 0, 0) : on ajoute une colonne à la matrice échelonnée.

, on met cette matrice sous forme de système :

Dim Ker(u) = 2, on doit trouver 2 vecteurs libres vérifiant le système :

Posons z = 0, alors (1) x = t ; et (2) y = 2t = 2x, soit x = 1, on a le vecteur (1, 2, 0, 1)

Posons t = 0, alors (2) y = -z ; et (1) x = -2z, soit y = 1, on a le vecteur (2, 1, -1, 0)

On a 2 vecteurs qui vérifient le système, donc <(1, 2, 0, 1) ; (2, 1, -1, 0)> est une base de Ker(U)

Base de l’ IM

Soit v(a, b, c), , on ajoute à la matrice du début, et on l’échelonne en fonction de cette colonne !

On doit obtenir que des 0 dans la dernière ligne. Su ce n’était pas le cas , il n’y aurait pas de Ker, et une base de l’image serait tous les vecteurs de la matrice (ici 4 vecteurs)

Donc en remettant cela sous forme de système, on a

On a vu que IM(U), c’est 2 vecteurs dans F.

Posons b = 0, alors a = -c, soit a = 1, on a un vecteur qui est (1, 0, -1)

Posons c = 0, alors a = 2b, soit a = 2, on a un vecteur qui est (2, 1, 0)

Une base de IM(U) s’écrit <(1, 0, -1) ; (2, 1, 0)>

Transformer une base non vectorielle en matrices.

Soit la base , la matrice , et l’application T tel que .

Il faut procéder comme avec des vecteurs, (car les vecteurs ne sont rien d’autres que des matrices avec comme hauteur 1 ) on a e1,e2,e3,e4 ; cherchons T(e1), T(e2), T(e3) T(e4) :

Ce n’est pas une combinaison linéaire, mais on peut en faire une avec les e1,e2,e3,e4 :

… La « difficulté » est passée….

(note : on fait pareil avec les vecteurs ! ! ce paragraphe est pour généraliser…)

En calculant T(e2), T(e3), T(e4), on arrive a pondre une matrice de T =

Matrice de passage :

Elle est utilisée pour changer de base.

Soit 2 bases de R² : et .

On veut la matrice de passage de E à F…

On cherche à exprimer les vecteurs de F en fonction de ceux de E. Ici, on voit aisément que :

(on garde bien l’ordre, piège a con dans les matrices), la matrice de passage est donc .

Et si on demande la matrice de passage de F à E : ça vous emmerde hein ? Dur de trouver facilement une expression des vecteurs de E en fonction de ceux de F.

De F à E, c’est l’inverse que de E à F : la matrice de passage de E à F est l’inverse que celle de F à E. Ici : .

Changement de base :

Gardons les mêmes bases. Soit m(x,y) un point dans la base F. Dans la base E, il aura les coordonnées X et Y telles que :

Déterminants, propriétés :

Les déterminants se calculent uniquement pour les matrices carrées.

Le déterminant d’une matrice sert surtout à voir si elle est inversible.

• Si le déterminant est 0, la matrice n’est pas inversible.

• Sinon, elle l’est. (Une matrice étant une application linéaire, le déterminant est le facteur de multiplication d’une longueur, d’une aire, d’un volume ou hypervolume entre avant et après l’application. Comme on travaille dans des repères, ces longueurs… peuvent être négatives, comme les aires pour les intégrales…)

L’essentiel, c’est le premier point.

On note la matrice entre traits droits pour dire qu’on parle du déterminent, ou on écrit det devant.

Déterminant d’une matrice 1x1 :

C’est simplement la seule valeur de la matrice… (ce n’est pas une valeur absolue ! C’est la notation du déterminant)

Déterminant d’une matrice 2x2 :

On emploie la règle du (gamma).

(dessinez une ligne reliant les éléments dans l’ordre ou vous les prenez, ça fait un gamma…)

Déterminant d’une matrice diagonale :

Une matrice diagonale, c’est quand on a des éléments non nuls sur la diagonales principale, et nuls de partout ailleurs.

Transformer les colonnes par la méthode de Gauss :

N’oublions pas que les matrices sont des colonnes de vecteurs. (voir « transformer une application linéaire en matrice »)

On peut écrire les vecteurs comme combinaison linéaire des autres (si ça nous arrange !)

. Cherchons à avoir une matrice diagonale. Soit u(e2) = u(e2) –3*u(e1). Donc

. Soit

...