Mediciones Y Errores

Objetivos:

1.- Realizar mediciones directas de la masa y de las dimensiones lineales necesarias del cuerpo de prueba.

2.- Expresar correctamente el valor numérico de las dimensiones indirectas obtenidas, aplicando el concepto de cifras significativas, la teoría de los errores y de la propagación de los errores.

3.- Encontrar la densidad del cuerpo de prueba utilizando la teoría de propagación de los errores.

Marco Teórico:

Mediciones Y Errores

Cifras Significativas: son las cifras seguras y directas medidas y observadas en los instrumentos al realizar una medición, más una cifra estimada o aproximada.

Los ceros situados entre dos cifras significativas son significativos. 105 tiene tres cifras significativas

Los ceros a la izquierda de la primera cifra significativa no lo son. 0,005 tiene una cifra significativa

Para números mayores que 1, los ceros a la derecha de la coma son significativos. 8,00 tiene tres cifras significativas

Para números sin coma decimal, los ceros posteriores a la última cifra distinta de cero pueden o no considerarse significativos. Así, para el número 70 podríamos considerar una o dos cifras significativas. Esta ambigüedad se evita utilizando la notación científica. 7 • 102 tiene una cifra significativa

7,0 • 102 tiene dos cifras significativas

Apreciación del Instrumento: Es la menor lectura que admite un instrumento de medición y se determina por el valor entre dos divisiones sucesivas.

La apreciación se obtiene de la siguiente forma:

A_(intrumento de medicion )=A_(regla fija)/N_(divisiones regla movil)

Mediciones directas o indirectas: Directas son las mediciones obtenidas mediante la lectura de los instrumentos de medida. Indirectas son las mediciones que se calculan por medio de operaciones matemáticas realizadas entre las mediciones directas.

Mediciones directas

Cálculo de errores en medidas directas

Casi todas las medidas directas implican la lectura de una escala o de una pantalla digital. Se pueden distinguir dos casos dependiendo de cómo sean los errores accidentales frente a la precisión del aparato, esto es, dependiendo de si al medir varias veces la misma magnitud con el aparato se obtiene exactamente el mismo resultado o no:

Cuando los errores accidentales son pequeños frente a la precisión del aparato (al medir varias veces el resultado es siempre el mismo)

En este caso, los errores accidentales son despreciables frente a la tolerancia del aparato. El margen de error es el que indique el fabricante en el manual de instrucciones. En nuestro caso, para las prácticas que se van a llevar a cabo en el laboratorio, resulta razonable aplicar el criterio siguiente para el límite de error (error absoluto) en sustitución de las especificaciones del fabricante:

Cuando los errores accidentales son superiores a la precisión del aparato (los resultados de la medida no son siempre los mismos)

El error del instrumento es despreciable frente a los errores accidentales y debe hacerse un tratamiento estadístico de los resultados. Por ello en este caso resulta necesario realizar varias medidas. Supongamos que se realiza un conjunto de n medidas (siendo n ≥ 10) de una misma magnitud X y los valores obtenidos son x1, x2,...., xn. Como mejor estimación de la cantidad x, esto es, como valor experimental de la magnitud medida, se toma el valor medio o media:

Para estimar el error asociado a este valor medio, lo apropiado es tener en cuenta las distancias de los valores obtenidos x1, x2,...., xn al valor medio, esto es, la dispersión de los datos. Para ello se define la desviación típica o desviación estándar de los datos:

x ̅=(∑_(i=1)^n▒x_i )/n

Sin embargo, en esta expresión no se tiene en cuenta que fijados el valor medio y

(n-1) valores de xi, el valor del xi restante queda perfectamente determinado (se dice que tenemos (n 1) grados de libertad), y tampoco se tiene en cuenta que la desviación típica debería quedar indeterminada si sólo se tiene un valor, en lugar de ser igual a 0 como sugiere la expresión anterior. Estos y otros motivos puramente teóricos, hacen que se prefiera la siguiente definición para la desviación típica o desviación estándar de los datos, que va a ser la que usemos nosotros2:

σ=±√((∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x ̅)〗^2 )/n)

Y n-1 si n es grande tomaremos como cota de error tres veces la desviación típica de la media ( 3 x Δx = ± σ ).

Medidas Indirectas

Cálculo de errores en medidas indirectas: propagación de errores

Dado que la medida indirecta de una magnitud proviene del cálculo a partir de otras magnitudes medidas a su vez directa o indirectamente, mediante la aplicación de leyes físicas o fórmulas matemáticas en general, es importante saber cómo se propagan los errores desde las segundas hacia la primera. De ello se encarga la teoría de propagación de errores que presentaremos a continuación, fundamentada en el cálculo diferencial.

Fórmula general de la propagación de errores en fórmulas matemáticas

Supongamos que la magnitud que se quiere determinar indirectamente A sea resultado de la aplicación de una fórmula A = f(x, y, …) en la que aparecen varias magnitudes x, y, … que han sido medidas con errores absolutos Δx, Δy, … El valor experimental de A será el que resulte de evaluar esa función para los valores experimentales de las demás magnitudes x, y, ….

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