Medidas Directas Y Su Incertidumbre

Objetivo. Realizar y expresar las medidas indirectas con su incertidumbre utilizando la ley de propagación de incertidumbre.

Introducción.

Medida Indirecta:

Se obtiene una medida indirecta cuando el valor de la magnitud que se quiere determinar se obtiene mediante cálculos (generalmente con fórmulas matemáticas) realizados con medidas directas.

Ley de propagación de la incertidumbre

Cuando no existe correlación entre las cantidades que aparecen en una medición, se debe

utilizar un procedimiento para obtener la incertidumbre estándar combinada basado en las

incertidumbres estándares de las cantidades originales y alguna relación funcional entre

ellas, de la cual se obtiene la nueva cantidad.

La incertidumbre estándar de y, donde y es la estimación del mensurando Y, y por tanto el

resultado de una medición, se obtiene al combinar apropiadamente las incertidumbres

estándares de las estimaciones de entrada x1, x2,...,xN La incertidumbre estándar combinada

se denota por uc(y.)

Para calcular esta cantidad, se utiliza la siguiente ecuación:

en la cual f es la función presentada en la ecuación (1.) Cada una de las u(xi) puede ser una

incertidumbre estándar evaluada según el procedimiento tipo A o el tipo B. A esta ecuación

se le conoce como la ley de propagación de la incertidumbre.

Las derivadas parciales que aparecen en la ec. (12) están evaluadas en Xi = xi, y

frecuentemente se les llama coeficientes de sensibilidad, y describen cómo cambia la

estimación de salida y con cambios en las estimaciones de entrada x1, x2,...,xN. Así, es

posible escribir:

Desarrollo experimental.

Material :

1 Vernier analógico

1 Vernier digital

1 Tornillo micrométrico analógico

1 Tornillo macrométrico digital

1 barra metálica

1 balín

Cubos de densidad

1 rondana

1 figura geométrica

Datos y resultados.

Medidas de la rondana.

Espesor. %D= 0.084% Tornillo micrométrico digital Incertidumbre: 0.001 mm

No. de Medida Resultado (mm)

1 1.580

2 1.588

3 1.586

4 1.593

5 1.574

6 1.570

Promedio 1.570

Cálculos:

Ua = 8.00875x10-3

Ub = 0.001 mm

V= π/(4 ) d(〖∅^2〗_ext-〖∅^2〗_int)

∂V/∂d= (∂ (π/(4 ) d(〖∅^2〗_ext-〖∅^2〗_int))/∂d= π/4(〖∅^2〗_ext-〖∅^2〗_int)

Evaluando

π/4 (〖(1.570)^2〗_ext-〖(0.52)^2〗_int )=1.7260

Uc = √(〖Ua〗^2+〖Ub〗^2 ) = √(〖 ( 8.00875x10-3 )〗^2+〖(0.001 )〗^2 )=8.07089x10-3

Radio interior. %D= 0.64% Vernier Analógico Incertidumbre: 0.05 mm

No. de Medida Resultado (mm)

1 0.53

2 0.53

3 0.51

4 0.53

5 0.52

6 0.53

Promedio 0.52

Cálculos:

Ua=7.6376x10-3

Ub=0.05

∂V/(∂∅_(ext.) )= (∂ (π/(4 ) d(〖∅^2〗_ext-〖∅^2〗_int))/(∂∅_(ext.) )= -π/2 d∅_(int.)

Evaluando:

-π/2 (1.570) (0.52)_(int.)=-1.2823

Uc = √(〖Ua〗^2+〖Ub〗^2 ) = √(〖 (7.6376 )〗^2+〖(0.05)〗^2 )=7.6377

Radio exterior %D= 0% Vernier Analógico Incertidumbre: 0.05 mm

No. de Medida Resultado (cm)

1 2.51

2 2.51

3 2.51

4 2.51

5 2.51

6 2.51

Promedio 2.51

Cálculos:

Ua=0

∂V/(∂∅_(ext.) )= (∂ (π/(4 ) d(〖∅^2〗_ext-〖∅^2〗_int))/(∂∅_(ext.) )= π/2 d∅_(ext.)

Evaluando.

π/2 〖(1.570)(2.51)〗_(ext.)=6.19

Uc = √(〖Ua〗^2+〖Ub〗^2 ) = √(〖 (0 )〗^2+〖(0.05)〗^2 )= 0.05

Uc=√((1.7260 )^2 (8.07089x〖10〗^(-3) )^2+(6.19 )^2 (0.05 )^2+(-1.2823)^2 (7.6377 )^2 )

Uc= 9.7987

Medidas del balín

Diámetro %D= 0.0118% Tornilllo micrométrico digital Incertidumbre: 0.001

No. de Medida Resultado (mm)

1 25.401

2 25.401

3 25.401

4 25.402

5 25.403

6 25.405

Promedio 25.402

Cálculos:

Ua = 1.5x10 mm

Ub = 0.001 mm

V= π/6 D3

V= π/6 (25.402 mm)3 = 8582.273 mm3 +/- 15.2mm3

∂V/∂D=π/2 D2 = π/6 (25.402)2 = 1013.574 mm2

Uc = √(〖Ua〗^2+〖Ub〗^2 ) = √(〖(1.5x〖10〗^(-2) mm) 〗^2+〖(0.001 mm)〗^2 ) = 0.015 mm

Uc = √(〖Uc〗^2 〖∂V/∂D〗^2 ) = [(.015mm)2 (1013.574mm2)2]1/2 = 15.2 mm3

Medidas del cubo de densidad

Arista %D= 0.181% Vernier digital Incertidumbre: 0.01

No. de Medida Resultado (mm)

1 20.20

2 20.19

3 20.17

4 20.15

5 20.16

6 20.15

Promedio 20.17

Cálculos:

Ua = 4.2x10-2 mm

Ub = 0.01 mm

V= l3

V= (20.18 mm)3 = 8,226.5 mm3 +/- 52.78mm3

∂V/∂l=3l2 = 3(20.18)2 = 1222.54 mm2

Uc = √(〖Ua〗^2+〖Ub〗^2 ) = √(〖(4.2x〖10〗^(-2) mm) 〗^2+〖(0.01 mm)〗^2 ) = 0.043 mm

Uc = √(〖Uc〗^2 〖∂V/∂l〗^2 ) = [(.043mm)2 (1222.54mm2)2]1/2 = 52.78 mm3

Medidas del triángulo:

Lado 1 %D= 1.77x10^-3 Vernier Digital Incertidumbre: 0.01

No. de Medida Resultado (mm)

1 84.60

2 84.57

3 84.48

4 84.52

5 84.53

6 84.64

Promedio 84.55

Lado 2 %D= 7.35x10^-4 Vernier Digital Incertidumbre: 0.01

No. de Medida Resultado (mm)

1 54.40

2 54.40

3 54.36

4 54.28

5 54.37

...