Metodos Numericos. EL MÉTODO DE EULER

Ingenieria Civil

Maquinaria pesada

Unidad VI

ROBLES CORVERA JOSE ERUBIEL

UNIDAD 6

EL MÉTODO DE EULER

llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.

El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:

[pic 1]

Consiste en multiplicar los intervalos que va de [pic 2] a [pic 3] en [pic 4] subintervalos de ancho [pic 5]; osea:

[pic 6]

de manera que se obtiene un conjunto discreto de [pic 7] puntos: [pic 8] del intervalo de interes [pic 9]. Para cualquiera de estos puntos se cumlple que:

[pic 10] [pic 11].

La condición inicial [pic 12], representa el punto [pic 13] por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como [pic 14].

Ya teniendo el punto [pic 15] se puede evaluar la primera derivada de [pic 16] en ese punto; por lo tanto:

[pic 17]

Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por [pic 18] y de pendiente [pic 19]. Esta recta aproxima [pic 20] en una vecinidad de [pic 21]. Tómese la recta como reemplazo de [pic 22] y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a [pic 23]. Entonces, podemos deducir segun la Gráfica A:

[pic 24]

Se resuelve para [pic 25]:

[pic 26]

Es evidente que la ordenada [pic 27] calculada de esta manera no es igual a [pic 28], pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor [pic 29] sirve para que se aproxime [pic 30] en el punto [pic 31] y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:

[pic 32]

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, delproblema de valor inicial.

Sea

[pic 33]

una ecuación diferencial ordinaria, con [pic 34] donde [pic 35] es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

[pic 36]

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

[pic 37],

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento [pic 38] entre los sucesivos puntos [pic 39] y [pic 40]. Los coeficientes [pic 41] son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

[pic 42]

con [pic 43] coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes [pic 44] del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, [pic 45] para [pic 46], los esquemas son explícitos.

EULER

double x0, y0, h, y1, y2, y3, y4, y5, x1, x2, x3, x4,

                   fx0y0, fx1y1, fx2y2, fx3y3, fx4y4;

            textBox1.Text = Convert.ToString(y1);

            textBox2.Text = Convert.ToString(y2);

            textBox3.Text = Convert.ToString(y3);

            textBox4.Text = Convert.ToString(y4);

            textBox5.Text = Convert.ToString(y5);

            x0 = Convert.ToDouble(textBox6.Text);

            y0 = Convert.ToDouble(textBox7.Text);

            h = Convert.ToDouble(textBox8.Text);

            fx0y0 = (3 * Math.Exp(2 * x0) + 2 * y0);

            y1 = y0 + (fx0y0 * h);

            x1 = x0 + h;

            fx1y1 = (3 * Math.Exp(2 * x1) + 2 * y1);

            y2 = y1 + (fx1y1 * h);

            x2 = x1 + h;

            fx2y2 = (3 * Math.Exp(2 * x2) + 2 * y2);

            y3 = y2 + (fx2y2 * h);

            x3 = x2 + h;

            fx3y3 = (3 * Math.Exp(2 * x3) + 2 * y3);

            y4 = y3 + (fx3y3 * h);

            x4 = x3 + h;

            fx4y4 = (3 * Math.Exp(2 * x4) + 2 * y4);

            y5 = y4 + (fx4y4 * h);

RUNGE-KUTTA

double x0, x1, x2, x3, x4, y0, k0, k1, k2, k3, k4, h, H, y1, K11, K12, K13, K14, Y2, Y3, K21, K22, K23, K24, Y4, K31, K32, K33, K34, Y5, K41, K42, K43, K44;

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