Metodos Numericos

Trabajo de Métodos Numérico

Índice.

Método de bisección:

El método de bisección o también llamado corte binario es uno de los métodos mas sencillos para resolver ecuaciones en una variable. Este es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2 (usando el teorema de valor intermedio). Es decir, para toda función f en un intervalo cerrado en un [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es, que todo valor entre f(a) y f(b)es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos ( f(a) * f(b) < 0), el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un P en [a,b] que cumple:

*f(p) = 0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación *f(x) = 0. Tomando en cuenta que la función f(x) es continua en un intervalo [a,b].

Procedimiento del método de bisección

De una forma mas simplificada, daremos a conocer los siguientes pasos a realizar:

Sea f(x) continua:

1. Encontrar los valores iniciales a, b tales que f(a) y f(b) tienen signos opuestos, es decir:

• f(a) *f(b) < 0

2. La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre a y b:

• C = a+b

2

3. Evaluar f(c). seguidamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

• f(a) * f(b)<0

o En este caso, tenemos que f(a) y f(c) tienen signos opuestos, y por lo tanto la raízse encuentra en el intervalo [a,c].

 f(a) * f(c)>0

o En este caso, tenemos que f(a) y f(c) tienen el mismo signo, y de aquí que f(c) y f(b) tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo [c,b].

 f(a) * f(c) =0

En este caso se tiene que f(c) = 0 y por lo tanto ya localizamos la raíz.

Finalmente calculamos el error aproximado, ya que contamos con la aproximación actual y la aproximación previa siguiendo la siguiente formula:

Ejemplo:

Si queremos encontrar la solución exacta para la ecuación x³-7x²+14x-6 = 0 dentro del intervalo dado [0,1], con un grado de tolerancia de 10E-2. Debemos:

Sol.

Primero, corroboramos que el intervalo es el correcto al evaluar los extremos de este en la función f(x):

f(0)*f(1)<0 ;f(0)=-6 ; f(1)=2

luego: f(o)*f(1)=(-6)*(2)=-12

Con estos simples pasos corroboramos que los valores utilizados en la igualdad son validos para poder utilizar el método de bisección.

Ahora hacemos la primera aproximación de raíz:

x0=(0+1)/2=0,5 ;

Este es la primera aproximación de raíz, posteriormente evaluamos en la función para ver si el valor nos sirve.

F(0,5)=-0,625. ;

Como el valor de tolerancia no es de 10E-2, debemos continuar buscando las raíces asta obtener el valor

...