Características del estudio de métodos numéricos

MÉTODOS NUMÉRICOS

Análisis numérico.

Una definición de análisis numérico podría ser el estudio de los errores en los cálculos; error aquí no quiere decir un disparate, equivocación u omisión, sino más bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas.

Otra definición de análisis numérico podría ser el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función.

Un especialista de análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de los métodos es su variación.

El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo.

Si bien no nos interesa la construcción de tal dispositivo o la manera en que funciona, si nos importarán los sistemas numéricos de máquinas en contraposición con nuestro sistema de números reales, y los errores resultantes de cambiar de uno a otro sistema.

Una buena razón para estudiar el análisis numérico es mejorar nuestra comprensión de los conceptos de las matemáticas (puras) observando como algunos de ello deben modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales.

Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real.

Métodos numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.

Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.

Cifras significativas.

Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.

1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.

2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.

Exactitud y Precisión.

La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros.

La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.

Error.

En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exact9 y el obtenido por aproximación se define como:

Error = Valor real -valor estimado

En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado.

Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor :

Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero

Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este.

Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error como:

Si reemplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas en que es confiable el valor aproximado obtenido.

Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de:

Es=(0.5x 102-2)%=0.5%

Esto nos servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado en Es

ERROR DE REDONDEO

Muchas veces, los computadores cortan los números decimales entre e17°

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