Método de Newton-Raphson

[pic 1]

[pic 2]

Solución de sistemas        de ecuaciones no lineales

[pic 3]

1.2 Método de Newton-Raphson

Mtra. Teresa Carrillo

Introducción[pic 4]

• El método del punto fijo tiene la gran

desventaja de que la obtención de las ecuaciones gi, requiere una labor

• Recordamos su forma para una variable[pic 5]

𝑓(𝑥𝑖)

matemática adicional.

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −

[pic 6]

𝑓´(𝑥𝑖)

• El método de Newton es uno de los

métodos más populares para la obtención de raíces de una ecuación. Por lo que veremos su generalización para sistemas de ecuaciones no lineales

Y la pasamos a su forma matricial

𝐹(𝑋𝑖)

𝑋𝑖+1 = 𝑋𝑖 −[pic 7][pic 8][pic 9]

𝐹′(𝑋𝑖)

Mtra. Teresa Carrillo R.

Matriz jacobiana[pic 10]

• Cuando se trabaja con funciones de varias variables, se emplean las derivadas parciales. La generalización de derivada para sistemas de ecuaciones de varias variables es la

[pic 11]

• Definición: Sean fi(x1,x2, …, xn), con 1 ≤ i

≤ n, funciones con n variables (xi) independientes. Su matriz jacobiana J(x1,x2, …, xn), está dada por las derivadas parciales de cada una de las funciones con

respecto a cada una de las variables:

matriz jacobiana.

𝑓1𝑥1

𝑓1𝑥2

⋯        ⋯        𝑓1𝑥𝑛

Mtra. Teresa Carrillo R.[pic 12][pic 13]

𝑱(𝑿) =

𝑓2𝑥1        𝑓2𝑥2        ⋯

𝑓3𝑥1        𝑓3𝑥2        ⋯

⋮        ⋮        ⋮

𝑓𝑛𝑥1        𝑓𝑛𝑥2        ⋯

⋯        𝑓2𝑥𝑛

⋯        𝑓3𝑥𝑛

⋮

⋯        𝑓𝑛𝑥𝑛

Recordemos…Método de Newton (para una variable)[pic 14]

[pic 15]

• El método de Newton para una variable se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden:

f(xi+1) = f(xi) + (xi+1 – xi)f´(xi)

donde xi es el valor inicial de la raíz y xi+1 es el punto en el cual la derivada (pendiente) intersecta el eje. En esta intersección f(xi+1) por definición es igual a cero y la forma iterativa del método puede escribirse como:

𝑥𝑖+1

= 𝑥𝑖

− 𝑓(𝑥𝑖)

𝑓´(𝑥𝑖)[pic 16]

Mtra. Teresa Carrillo R.[pic 17]

Para varias variables

[pic 18]

La forma del método de Newton para varias ecuaciones se deriva en forma idéntica que para una sola variable pero a partir de la serie de Taylor para varias variables:

𝑛

𝑓𝑘+1 = 𝑓𝑘 + ෍[pic 19][pic 20]

 𝜕𝑓𝑘

𝑖        𝑖

𝑗=1

𝜕𝑥𝑗

Donde el subíndice i, indica la ecuación y el superíndice k, el término de la sucesión generada para la obtención de la raíz. La raíz estimada corresponde a los valores (x1, x2,…, xn) y fik+1 son las ecuaciones igualadas a cero. Reordenando se obtiene

𝑛        𝜕𝑓𝑘        𝑛        𝜕𝑓𝑘

෍        𝑖        𝑥𝑘+1 = −𝑓𝑘 + ෍        𝑖        𝑥𝑘[pic 21]

Mtra. Teresa Carrillo R.

𝑗=1

𝜕𝑥𝑗        𝑗

𝑖

𝑗=1

𝜕𝑥𝑗        𝑗

Método de Newton multivariado[pic 22]

[pic 23]

Usando notación vectorial

F(X) = 0

Ejemplo:

Sea el siguiente sistema de ecuaciones:[pic 24]

F = [f1, f2

, …, fn)]t

𝑓1

= 1 − 𝑥2 − 𝑥 + 𝑦2 = 0

X = [x1

, x2, …, xn]t

𝑓2

= 𝑦 − sen(𝑥2) = 0

La extensión del método de Newton para sistemas no lineales es:[pic 25]

X(k + 1) = X(k) – [F´(X(k))]-1F(X(k))

Donde F´(X(k)) es la matriz jacobiana.

[pic 26][pic 27]

Resolverlo por el método de Newton.

...