MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

Supongamos que tenemos la aproximación a la raíz de ,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ; ésta cruza al eje en un punto que será nuestra siguiente aproximación a la raíz .

Para calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Hacemos :

Y despejamos :

Que es la fómula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

, si

Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.

También observe que en el caso de que , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso mismo es una raíz de !

Ejemplo 1

Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que .

Solución

En este caso, tenemos que

De aquí tenemos que:

Comenzamos con y obtenemos:

En este caso, el error aproximado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.

1

1.268941421 21.19%

1.309108403 3.06%

1.309799389 0.052%

De lo cual concluímos que la aproximación obtenida es:

Ejemplo 2

Usar el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que .

Solución

En este caso, tenemos que

La cual sustituímos en la fórmula de Newton-Raphson para obtener:

Comenzamos sustituyendo para obtener:

En este caso tenemos un error aproximado de

Continuamos con el proceso hasta lograr el objetivo. Resumimos los

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