Como es la obtención de raíces por el método de Newton - Raphson

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Unidad Profesional “Culhuacán”

Laboratorio de análisis numérico

Practica No 2

"Obtención de raíces por el método de Newton - Raphson"

Alumnos:

Gonzales Rojas Kevin Alonso.

García Camacho Brandon.

Alejandro Bonilla Jesús.

Carlos Quetzalcóatl Villa Aguirre.

Navarrete Mejorada Rigoberto.

Chora Peña Jonathan Uriel.

Gutiérrez Hernández Luis Fernando.  

Grupo:

2MM2

Profesor: M. en C. Alejandro Valdespino Chetirquen

1. Objetivo.

El objetivo que persigue esta práctica es el de conocer el método para obtener las raíces de una función mediante el método de Newton – Raphson o método de la tangente, empleando para esto el uso de las herramientas informáticas necesarias para solventar lo visto en la teoría con una adecuada implementación de algoritmos.

1. Introducción

El método numérico de Newton fue descrito por Sir Isaac Newton en De analysi per aequationes numero terminorum infinitas ('Sobre el análisis mediante ecuaciones con un número infinito de términos', escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo. Las limitaciones de las soluciones analíticas: por ejemplo, en el caso de problemas de geometría simple, en cálculos de linealidad, por lo regular solo se manejan condiciones ideales de los problemas, y sobre todo se acota para soluciones de pocas dimensiones, además en múltiples ocasiones no se logra obtener la solución, o mejor dicho no se pude demostrar la solución alcanzada con el modelo analítico. Es importante recordar que en los problemas de la vida real nos encontramos con muy contados procesos lineales ó ideales. En este mismo sentido para las soluciones gráficas: los resultados carecen de precisión, cuando se procede a buscar la solución, los cálculos son tediosos y difíciles de implementar, sin mencionar que solo sirven para representaciones de sistemas con un máximo de 3 dimensiones.

Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi.

El método de Newton-Raphson es llamado así por el matemático inglés Joseph Raphson (contemporáneo de Newton) se hizo miembro de la Royal Society en 1691 por su libro "Aequationum Universalis", publicado en 1690, que contenía este método para aproximar raíces. Newton en su libro Método de las fluxiones describe el mismo método, en 1671, pero no fue publicado hasta 1736, lo que significa que Raphson había publicado este resultado 46 años antes. Aunque no fue tan popular como los trabajos de Newton, se le reconoció posteriormente.

1. Consideraciones teóricas.

Este método se basa en la serie de Taylor, teniendo que la primera derivada en es equivalente a la pendiente:

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Que se arregla para obtener:

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Más conocida como la fórmula de Newton Raphson

El método de Newton - Raphson es un método abierto, en el sentido de que no está garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.

Sea f: [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n

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1. Aplicación

Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos(x) = x3. Podríamos tratar de encontrar el cero de f(x) = cos(x) - x3.

Sabemos que f '(x) = -sin(x) - 3x2. Ya que cos(x) ≤ 1 para todo x y x3 > 1 para x>1, deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x0 = 0,5

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Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x6 es correcto para el número de decimales pedidos. Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x3) a 5 y 10, ilustrando la convergencia cuadrática.

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