METODO DE NEWTON RAPHSON

1. METODO DE NEWTON RAPHSON.

El método de Newton Raphson es, junto con la bisección, uno de los métodos más populares, su preferencia radica en su robustez y velocidad al encontrar la raíz. Por ser un método abierto o de punto fijo, debe verificarse su criterio de equivalencia. Quizá el único punto que pudiera tener en contra radica en la necesidad de contar con la primera y la segunda derivadas de la ecuación a resolver.

Se aplica a ecuaciones algebraicas y trascendentales y proporciona raíces reales. Definición del método.

El nombre original del Método de Newton Raphson es de las tangentes. Una tangente es una recta que intersecta a una curva en un solo punto; en consecuencia, es perpendicular a su radio. A partir de la siguiente figura se plantea:

[pic 1]

Método de las tangentes

1. Se plantea que en un valor 𝒙𝟎 que represente una aproximación a la raíz de la ecuación, se trace una tangente en el punto (𝒙𝟎). Esta recta tangente deberá cortar al eje horizontal. El punto donde lo corte será la nueva aproximación 𝒙𝟏, de tal forma que en el punto (𝒙𝟏) se trace una nueva tangente. Este proceso se repetirá hasta que el corte de la tangente en el eje horizontal coincida con la raíz de la ecuación, o bien, cuando la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas cumpla con una tolerancia preestablecida.

De nuevo a partir de la figura anterior, con base en las dos primeras iteraciones, se define la siguiente relación entre el triángulo formado por la recta tangente y el ángulo theta:

𝒕𝒂𝒏(𝜽) =   𝒇(𝒙𝟎)[pic 2]

𝒙𝟎 − 𝒙𝟏

Por otra parte, se conoce que

(𝟏)

𝒇′(𝒙𝟎) = 𝒕𝒂𝒏(𝜽)        (𝟐)

Sustituyendo (2) en (1)

𝒇′(𝒙𝟎

) = 𝒇(𝒙𝟎)

𝒙𝟎 − 𝒙𝟏[pic 3]

(𝟑)

En esta ecuación la incógnita la representa la iteración siguiente 𝒙𝟏. Despejándola y expresándola en forma iterativa para cualquier iteración:

𝒇(𝒙𝒊)

𝒙𝒊+𝟏  = 𝒙𝒊  − 𝒇′(𝒙𝒊)        (𝟒)[pic 4]

La ecuación 4 representa la ecuación de recurrencia del método de Newton Raphson

Convergencia

Para detener este método de analiza si |(𝒙𝒊+𝟏)| es menor al error de tolerancia que se desea manejar.

Nota: Como este método puede caer en un ciclo se define un número máximo de iteraciones para detenerlo.

Algoritmo:

Ejemplo 1. Utilice el método de Newton Raphson para calcular la raíz de[pic 5]

(𝒙) = ℮−𝒙 − 𝒙, empleando como valor inicial 𝒙𝟎 = 𝟎.

Veamos la gráfica:

[pic 6]

Primeramente, hallamos la derivada de la función.

𝒇′(𝒙) = −℮−𝒙 − 𝟏

Que se sustituye en la ecuación 𝒙𝒊+𝟏

= 𝒙𝒊

− (𝒙𝒊), para tener

𝒇′(𝒙𝒊)[pic 7]

℮−𝒙𝒊  − 𝒙𝒊

𝒙𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊 − −℮−𝒙𝒊  − 𝟏[pic 8]

Empezando con un valor inicial de 𝒙𝟎 = 𝟎, se aplica esta ecuación iterativa para calcular

En tres iteraciones encontramos el valor de la raíz el cual es 𝒙 = 𝟎. 𝟓𝟔𝟕𝟏𝟒

Ejemplo 2. Utilizando el método de Newton-Raphson calcular una de las raíces para la función (𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) ℮−𝒙 + 𝟏, tomando como valor inicial 𝒙𝟎 = −𝟐 y un error máximo permisible de E=0.00001

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