MÉTODO DE NEWTON

Es la solución numérica de sistemas particulares de ecuaciones lineales, principalmente aquellos cuya matriz es simétrica y definida positiva, y el cual tiene amplia acogida pues aprovecha muy bien la estructura de la matriz, además de tener muy buenas propiedades de estabilidad numérica. Esta aplicación se usa en sistemas “sparse" que sean relativamente grandes como para ser resueltos mediante métodos directos como la descomposición Cholesky.

MÉTODO DE NEWTON

El método de Newton fue escrito por Isaac Newton en 1.669 y publicado en 1.711 por William Jones. Sin embargo, Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo.

Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi.

Consiste en encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

MÉTODOS DE DIRECCIONES CONJUGADAS

El propósito de esta familia de métodos es mejorar la tasa de convergencia del método de descenso más rápido, sin incurrir en la sobrecarga computacional del método de Newton. Originalmente se desarrollaron para resolver el problema cuadrático mın f (x) =12xT Qx−bT xs.a.x∈Rn,(64) donde

Q es una matriz simétrica y definida positiva, o bien para resolver el sistema lineal Qx=b. Los métodos de direcciones conjugadas resuelven estos problemas en un máximo de n iteraciones. También se aplican a problemas de optimización en un entorno de un mínimo local x∗ tal que ∇2f ( x∗)≻0

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