Método de Newton
Enviado por ariel.botten • 23 de Octubre de 2013 • 839 Palabras (4 Páginas) • 402 Visitas
Método de Newton
Si es definida positiva (o definida negativa) para todo , el algoritmo converge rápidamente. Esta convergencia está garantizada independiente del valor de sólo si es estrictamente convexa (cóncava).
En la realidad, sin embargo, la convergencia es a menudo alcanzada para la mayoría de las funciones si se escoge un punto de partida aceptable.
Una desventaja de este método es que éste requiere cálculos de la segunda derivada parcial de en cada iteración. Si es cuadrática, la matriz Hessiana no es función de , y por lo tanto es una matriz constante para todas las iteraciones. Computacionalmente, es muy deseable no calcular en cada iteración. Por esta razón, funciones no lineales son a menudo aproximadas por formas cuadráticas para el propósito de determinar puntos estacionarios.
Minimizar
=
Algoritmo de Newton
Dada una aproximación inicial , una tolerancia y un número máximo de iteraciones , para
, hacer
Paso 1. Definir
Paso 2. Resolver para el sistema de ecuaciones lineales:
Paso 3. Calcular
Paso 4. Si entonces es una aproximación al punto crítico. Si no, hacer y volver al paso 2.
Ejemplo
Maximizar
Resolviendo el sistema de ecuaciones
Comenzar con la aproximación inicial:
k 0 1 2 3
0 0.75 0.975 0.999695
0 0 0 0
Comenzar con la aproximación inicial:
k 0 1 2 3 4 5
15 8.538 5.3457 3.8229 3.185527 3.014517
10 0 0 0 0 0
Ejercicios
1) Maximizar
Métodos del Gradiente
Método del ascenso más pronunciado o método de la pendiente más inclinada
La terminación del método del gradiente ocurre en un punto donde el vector gradiente se anula. Esta es sólo una condición necesaria para la optimización. El óptimo no se puede verificar a menos que se sepa a priori que la función f(x) es cóncava o convexa.
Suponga que se maximiza f(x). Sea x0 el punto inicial desde el cual comienza el procedimiento y determine , el gradiente de en el punto .
La idea del método es determinar una trayectoria particular a lo largo de la cual es máxima en un punto dado. Este resultado se logra si se seleccionan puntos sucesivos y tales que , donde es un parámetro llamado tamaño de paso óptimo.
El
...