Metodo De Newton

Método de Newton

En esta sección estudiamos un método numérico, denominado método de Newton o método de

Newton-Raphson, el cual es una técnica para aproximar la solución de una ecuación f(x) O.

En esencia, utiliza rectas tangentes en vez de la gráfica de y = f(x) cerca de los puntos donde

f es cero. (Un valor de x donde f es cero es una raíz de la función f una solución de la

ecuación f(x) O).

Procedimiento para el método de Newton

El objetivo del método de Newton para la estimación de una solución de la ecuación f(x) O

es producir una sucesión de aproximaciones que tiendan a la solución. Seleccionamos el primer

número Xo de la sucesión. Luego, en circunstancias favorables, el método hará el resto al

ir paso a paso hacia un punto donde la gráfica de f cruza al eje x (figura 4.41). En cada paso,

el método aproxima un cero de f con un cero de una de sus linealizaciones. A continuación

veremos cómo funciona.

La estimación inicial Xo puede determinarse mediante graficación o con una simple conjetura.

Entonces, el método utiliza la tangente a la curva y f(x) en (xo, f(xo» para aproximar

la curva, denotando por XI al punto donde la tangente corta al eje x

el punto es una mejor aproximación a la solución que Xo. El punto X2, donde la tangente a

la curva en XI, f(xI)) cruza al eje X, es la siguiente aproximación en la sucesión. Continuamos

aSÍ, usando cada aproximación para generar la siguiente, hasta que estemos suficientemente

cerca de la raíz para detenemos.

Es posible deducir una fórmula para generar las sucesivas aproximaciones de la siguiente

manera. Dada la aproximación X", la ecuación punto pendiente para la tangente a la curva en

(xn,f(xn)) es

Podemos determinar dónde cruza el eje X si hacemos y = O(véase la figura 4.42):

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