Reporte de implementación de métodos de obtención de raíces

Universidad Politécnica del Estado de Morelos

EP1. Reporte de implementación de métodos de obtención de raíces.

Materia:

Matados numéricos

Profesor:

Hernández Cabanas Hans

Integrantes:

Carreño Albarrán Josue Alexander
Flores Morales Oswaldo
Marcelo García Ailer Osvaldo
Ruiz Labra Luis Fernando

Carrera:

Ingeniería en informática

Grupo:

4-C

Índice

Introducción        3

Métodos        3

Método gráfico:        3

Método de bisección:        3

Método del punto fijo:        4

Método de Newton:        4

Método de la secante:        4

Algoritmo        4

Pruebas        5

Método de bisección        5

Método del punto fijo:        6

Método de Newton:        7

Método de la secante:        8

Conclusiones        8

Bibliografía        9

Introducción

En el presente reporte de investigación veremos cómo se aplican los métodos para encontrar la raíz en una función por medio de método gráfico, bisección, falsa posición, secante, newton y punto fijo. Y como se aplican en el desarrollo de un programa que reciba los datos iniciales necesarios de cada método y por medio de operaciones logicas y matemáticas calcule factores de resultado como el error y la aproximación de la raíz.

El programa que utilizamos para el desarrollo de los códigos fue Matlab, este es excelente para este tipo de trabajos ya que sus funciones permiten capturar y procesar los datos de la manera más adecuada posible, además que su funcionalidad de poder ver la gráfica y cómo van cambiando las variables en ella es de gran ayuda para entender el código y los métodos en sí.

Como parte de este escrito también se unen los algoritmos, los cuales se realizaron de acuerdo a los métodos vistos en clase y realizando las modificaciones e instrucciones que se requerían para el mejor funcionamiento que se le pudiera dar al código mejorando la velocidad de carga del mismo para que no tenga problemas de saturación de memoria o falta de procesamiento.

Métodos

Método gráfico:

Es un método sencillo que se utiliza para obtener una aproximación a la raíz de una ecuación f(x)=0. Este método consiste en graficar una función y así poder observar donde toca el eje X.

Método de bisección:

El objetivo de este método es encontrar la mejor aproximación posible a la raíz, se utiliza un intervalo inicial, donde habrá un cambio de signo en la función f(a).f (b) <0.

Método del punto fijo:

El método del punto fijo comienza con una aproximación X0 y X i+1 = g(X i), esto genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a una solución de la ecuación f(X)=0.

Método de Newton:

El método de newton o también llamado el método de las tangentes inicia con un valor de X 0 y va construyendo de forma iterativa una sucesión de valores X i.
Para poder realizar esto se utilizan rectas de tangentes a una gráfica de la función en los puntos (Kif(Xi), esto calculara el punto de corte con el eje 0X, así, de esta manera se aproximara la raíz buscada.

Método de la secante:

Este método está basado en la fórmula de newton, pero la diferencia de este, es que evita el cálculo de la derivada. La diferencia entre estas fórmulas es que la regla falsa trabaja con intervalos cerrados, y el método de la secante tiene un proceso iterativo, esto hace que encuentre la aproximación con la misma velocidad que el método de newton.

Algoritmo

Algoritmo de Newton

Inicio

1. Pedir al usuario los datos de entrada: una función, un punto de inicio y la tolerancia.
2. Derivar la función en el punto dado.
3. Declarar un contador para llevar un control de las iteraciones.
4. Con un clico while debemos iterar.
5. La condición de paro del ciclo será cuando el valor absoluto de la función sea menor a la tolerancia.
6. Dentro del ciclo se evalúa la formula xi+1 = xi – f (xi)/f’ (xi).
7. Posteriormente se calcula el error absoluto con el nuevo valor del punto xi.
8. Incrementar el contador 1 vez.
9. Regresar a comparar en el while hasta que la condición de paro se cumpla.
10. Escribir la raíz encontrada y el número de iteraciones.

Fin

Algoritmo de punto fijo

Inicio

1. Pedir al usuario datos de entrada: una función g(x) ósea una función donde ya se despejo x.
2. Ingresar el punto inicial para empezar a iterar.
3. El programa también pedirá el número máximo de iteraciones.
4. Ingresar la tolerancia.
5. Declarar una variable que sirva como contador para saber cuántos ciclos se hicieron.
6. Graficar la función dada.
7. En un ciclo while donde la condición de paro será cuando se haya alanzado el máximo de iteraciones ingresadas por el usuario.
8. Dentro del ciclo while se declara un variable auxiliar que tendrá el valor del punto ingresado.
9. Se saca el nuevo punto evaluando la función g(x) pero con la variable auxiliar para no perder el valor original, siempre que se repita el ciclo tendrá el valor del punto anterior.
10. Se calcula el valor obsoleto: el punto nuevo menos el anterior.
11. Se compara si el valor absoluto obtenido es menor a la tolerancia si es menor continua iterando el ciclo si no la variable que lleva el control de las iteraciones se iguala a la cantidad máxima permitida de iteraciones más 1 para que cuando regrese al principio del ciclo este no entre a la condición y termine el ciclo
12. Por último se debe imprimir si se aproxima en ese número de iteraciones y con qué error.

Fin

Pruebas

Método de bisección[pic 2][pic 3]

Método del punto fijo:[pic 4][pic 5]

Método de Newton:[pic 6]

[pic 7]

Método de la secante:[pic 8][pic 9]

Método de falsa posición:

Conclusiones

En conclusión, los métodos vistos en este parcial son de gran ayuda en varias ramas de la tecnología e información tanto como para el desarrollo de máquinas industriales como para el desarrollo de un videojuego, es necesario para nosotros debido a la carrera que estamos cursando por lo menos saber las bases de esta rama, así como las aplicaciones de la misma.

Durante la realización de los algoritmos tuvimos muchos conflictos al momento de realizar parte lógica de los métodos y como pasar los métodos al lenguaje de Matlab ya que para nosotros es una herramienta nueva y nos apoyamos de internet para ver la sintaxis del programa y como se realizaban ciertas funciones en el programa.

...