Numeros Racionales

9º NUMEROS RACIONALES

También los números racionales forman un conjunto ordenado, adoptando para ellos la siguiente definición: el racional a/b será positivo si, y sólo si, los enteros a y b son ambos positivos o ambos negativos.

Por lo tanto, tiene sentido decir que un número racional es mayor o menor que otro.

Considérese un todo, por ejemplo, una hoja de papel, una tarta, etc.; divídase en varias partes iguales.

En cuatro partes la hoja de papel, en siete partes la tarta.

Cada una de las partes en que está dividida la hoja de papel es una cuarta parte; las del pastel, una séptima parte.

Tómense algunas de estas partes, 3 de papel y 4 de tarta, por ejemplo.

De este modo se tienen tres cuartas partes de una hoja de papel y cuatro séptimas partes de una tarta.

Los números que representan estas cantidades (tres cuartos, cuatro séptimos) se llaman fracciones, quebrados o números racionales.

Se representan por medio de dos números separados por una raya horizontal.

El de debajo de la barra se llama denominador, porque da nombre (denomina) al número racional e indica en cuantas partes se ha dividido la unidad.

El otro, situado sobre la barra, se llama numerador, porque da la cantidad (numera) y expresa la cantidad de partes que se toman o se dejan.

En los ejemplos anteriores:

• se divide la hoja en 4 partes, se toman 3, se deja 1; luego: se han tomado de hoja, se ha dejado de hoja.

• se divide la tarta en 7 partes, se toman 4, quedan 7 – 4 = 3; luego: se han tomado de tarta, se han dejado de tarta.

El número racional también puede representar otra situación concreta, por ejemplo, repartir 3 naranjas entre 4 personas.

Ahora el todo no es la unidad (1), sino 3 unidades y a cada uno de los cuatro les corresponde de naranja. Obsérvese que si cada naranja se divide entre los cuatro y cada uno toma de cada naranja (una parte equitativa), a cada uno le corresponden en total de naranja.

Se llama conjunto de números racionales al conjunto de los elementos de Z x Z (por tanto, pares de elementos de Z) de la forma , con m, n Î Z y n ¹ 0. El conjunto de los números racionales se representa con la letra Q.

Si n =1 se tiene = m, para cualquier m Î Z, luego ZÌ Q (Z está contenido en Q). Si m y n son del mismo signo, es positivo. Si son de distinto signo, es negativo.

El valor absoluto de un número racional se representa y define como en los números enteros:

Si se divide una hoja de papel en dos partes iguales y se toma 1, se ha tomado de hoja.

Si se divide en cuatro partes iguales y se toman dos, se ha tomado de hoja.

Si se divide en seis, ocho,..... y se toman tres, cuatro, ....

En cada caso se ha tomado la misma cantidad de papel (compruébese prácticamente con unas hojas de papel). Así las fracciones , , , ,...,.. representan la misma cantidad, es decir, son equivalentes.

En general, dos fracciones , son iguales:

por ejemplo:

= si mq = np

= 2x28 = 7x8

En la actualidad, el punto decimal se usa como “separatriz” en los Estados Unidos, México y en Inglaterra, pero los ingleses lo escriben a media altura. En gran parte de Europa se usa una coma en su lugar.

Los escandlnavos suelen imprimir la parte fraccionaria en caracteres más pequeños que la parte entera.

Estados Unidos 3.14,

Francia 3,14;

Inglaterra 3•14;

Escandinavia 3,14.

Las fracciones iguales se dice que son racionales equivalentes.

Dividiendo numerador por denominador puede expresarse un número racional por medio de la llamada notación decimal.

Así = 0.33

Decimos que dos números racionales en notación decimal son iguales, si todos sus digitos son iguales.

Así = 0.125;

= 0.125;

luego =

Para representar números racionales muy pequeños es cómoda la notación exponencial:

0.00000007 = = 7 x 10-8

Dos racionales positivos > si sólo si mq > nq: > ya que 2 ´ 3 = 6 > 5 = 1 x 5.

Dados dos números racionales a y b, con a < b, siempre existe otro racional m, tal que a < m < b,

ejemplo m =

(aunque existen otros, con éste basta para probar la afirmación). En efecto:

a < < b

equivale a 2a < a+b < 2b, o sea a + a < a + b < b + b que es evidente teniendo en cuenta (según la hipótesis) que a < b.

En el campo de los números racionales son posibles, además de la adición y la multiplicación, las operaciones inversas de éstas, es decir, la sustracción y, con la única excepción del divisor nulo, la división. Por consiguiente, la estructura algebraica del campo racional es bastante uniforme.

Obsérvese que esta proporción no es cierta, ni en N ni en Z. Por ejemplo, no hay ningún entero ni natural entre 3 y 4.

Un conjunto con la propiedad de que dados elementos cualesquiera del conjunto a, b con a < b, exista siempre otro elemento c del conjunto tal que a < c < b se dice que es denso. Por tanto, el conjunto de los racionales es denso y no lo son N ni Z.

La suma de dos números racionales que tienen el mismo denominador es igual a un número racional que tiene por numerador la suma de numeradores y por denominador, el denominador común.

Los matemáticos llaman densidad a la propiedad de los números racionales consistente en que entre cualquier par de números fraccionarios siempre puede intercalarse otro, de manera infinita..

Para sumar fracciones de distinto denominador es necesario primero convertirlas en fracciones equivalentes con denominador común. El modo más sencillo de hacerlo es multiplicar denominador y numerador de cada fracción por el denominador de la otra:

Ello por las propiedades conmutativa y asociativa del producto de enteros.

Para evitar operaciones con números excesivamente grandes, es recomendable usar el llamado mínimo común denominador.

Basta buscar dos fracciones equivalentes cuyo denominador común sea el mínimo común múltiplo de los denominadores originales.

Así, el mínimo común múltiplo de 24 y 36 es 72; 72 = 24 x 3 y 72 = 36 x 2, luego:

Sin embargo, como se recordará, si dos números son primos entre sí

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