Numeros Racionales

Número racional

Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).

En matemática, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo1 ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien , en Blackboard bold) que deriva de «cociente» (Quotienten varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros ( ), y es un subconjunto de los números reales ( ).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre .

Contenido

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• 1 Construcción formal

• 2 Aritmética de los números racionales

o 2.1 Definición de suma y multiplicación en Q

o 2.2 Relaciones de equivalencia y orden en Q

o 2.3 Existencia de neutros e inversos

o 2.4 Equivalencias notables en Q

o 2.5 Propiedades

• 3 Escritura decimal

o 3.1 Representación racional de los números decimales

o 3.2 Desarrollo decimal de los números racionales

o 3.3 Número racional en otras bases

• 4 Propiedades topológicas de los números racionales

o 4.1 Número p-ádico

• 5 Véase también

• 6 Referencias

• 7 Bibliografía

[editar]Construcción formal

Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes

El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción por ejemplo:

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:

[Mostrar] Demostración

Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:

Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:

[editar]Aritmética de los números racionales

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.

[editar]Definición de suma y multiplicación en Q

 Se define la suma

 Se define la multiplicación

[editar]Relaciones de equivalencia y orden en Q

 Se define la equivalencia cuando

 Los racionales positivos son todos los tales que

 Los racionales negativos son todos los tales que

 Se define el orden cuando

[editar]Existencia de neutros e inversos

 Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por .

 Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por .

 Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que

 Cada número racional: con excepción de tiene un inverso multiplicativo tal que

[editar]Equivalencias notables en Q

 Todo número entero se puede escribir como fracción

 con y





 con y

 con y .

[editar]Propiedades

 El conjunto , con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros .

 Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.

 La clausura algebraica de , es el conjunto de los números algebraicos.

 El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre y (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte

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