Numeros reales

Números reales

Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.

La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se usa para simplificar la interpretación matemática de efectos como los fenómenos eléctricos.

1. Características de los números reales

Además de las características particulares de cada conjunto que compone el superconjunto de los números reales, mencionamos las siguientes características.

1. Orden

Todos los números reales tienen un orden ( o sea tienen una secuencia):

[pic 1]

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En el caso de las fracciones y decimales:

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1. Integral

La característica de integridad de los números reales es que no hay espacios vacíos en este conjunto de números. Esto significa que cada conjunto que tiene un límite superior, tiene un límite más pequeño. Por ejemplo,

1. Infinitud

Los números irracionales y racionales son infinitamente numerosos, es decir, no tienen final, ya sea del lado positivo como del negativo.

1. Expansión decimal

Un número real es una cantidad que puede ser expresada como una expansión decimal infinita. Se usan en mediciones de cantidades continuas, como la longitud y el tiempo.

Cada número real se puede escribir como un decimal. Los números irracionales tienen cifras decimales interminables e irrepetibles, por el ejemplo, el número pi π es aproximadamente 3,14159265358979...

1. Clasificación de los números reales

[pic 5] [pic 6]

1. Números naturales

De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números con los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el infinito. El conjunto de los números naturales se designa con la letra mayúscula N.

Todos los números están representados por los diez símbolos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9, que reciben el nombre de dígitos.

1. Números enteros

El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números simétricos. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números negativos se denotan con un signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z y se representa como:

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Un número simétrico es aquel que sumado con su correspondiente número natural da cero. Es decir, el simétrico de n es -n, ya que:

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Los enteros positivos son números mayores que cero, mientras que los números menores que cero son los enteros negativos.

Los números enteros nos sirven para:

• representar números positivos: ganancias, grados sobre cero, distancias a la derecha;
• representar números negativos: deudas, pérdidas, grados bajo cero y distancias a la izquierda.

1. Números racionales

Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades continuas y las divisiones inexactas. Medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen y el peso, llevó al hombre a introducir las fracciones. El conjunto de números racionales se designa con la letra Q:

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Ejemplos

Un pastel dividido entre tres personas se representa como 1/3 un tercio para cada persona; una décima parte de un metro es 1/10 m= 0,1m.

1. Números irracionales

Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la división de enteros en el que el denominador es distinto de cero. Se representa por la letra mayúscula I.

Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción que son inconmensurables son también irracionales. Por ejemplo, la relación de la circunferencia al diámetro el número π=3,141592…

Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni fraccionario, son números irracionales:

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Puesto que los naturales están incluidos en los enteros y todos los enteros pueden ser representados como un número racional, se dice que los números reales son la unión de los números racionales y los irracionales.

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1. Propiedades de los números reales

1. La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.
2. La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
3. La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
4. La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
5. Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-a)=0
6. La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ.
7. La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
8. El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
9. En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
10. Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
11. Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c) esta propiedad es la distributiva.

4. Desglose de  Propiedades

- Propiedades de la suma:

a) Propiedad Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

b) Propiedad Asociativa:
Si se tienen más de dos sumandos, da igual cuál de las sumas se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales:

(a + b) +c =  a + (b + c) 

Ejemplos:

0.021 + (0.014 + 0.033) =  (0.021 + 0.014) + 0.033

c) Propiedad Conmutativa:
El orden de los sumandos no altera la suma.

∀ a, b ∈ R : a + b = b + a

Ejemplos:

3 ∈ R, 4 ∈ R →  3 + 4 = 4 + 3

√3 ∈ R, 9 ∈ R  → √3 + 9 = 9 + √3

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