Oscilaciones Amortiguadas Y Forzadas

Oscilaciones Amortiguadas

Estudiamos las oscilaciones amortiguadas tomando como modelo una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k que experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. Como aplicación práctica describimos un modelo simplificado que explica la deformación de un balón cuando choca contra una pared rígida.

La experiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene.

Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la fuerza elástica F=-kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad Fr=-lv, donde l es una constante que depende del sistema físico particular. Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta.

La ecuación del movimiento se escribe.-

ma=-kx-λv

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, y la velocidad es la derivada primera de x.

La solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente expresión

Las características esenciales de las oscilaciones amortiguadas:

• La amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo.

• La energía del oscilador también disminuye, debido al trabajo de la fuerza Fr de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad.

• En el espacio de las fases (v-x) el móvil describe una espiral que converge hacia el origen.

Si el amortiguamiento es grande, g puede ser mayor que w0, y w puede llegar a ser cero (oscilaciones críticas) o imaginario (oscilaciones sobre amortiguadas). En ambos casos, no hay oscilaciones y la partícula se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. La energía que pierde la partícula que experimenta una oscilación amortiguada es absorbida por el medio que la rodea.

Condiciones iniciales

La posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 determinan la amplitud A y la fase inicial j . Para t=0,

x0=A•senj

v0=-Ag•senj+Aw•cosj

En este sistema de dos ecuaciones se despeja A y j a partir de los datos de x0 y v0

Ejemplo:

Sea una oscilación amortiguada de frecuencia angular propia ω0=100 rad/s, y cuya constante de amortiguamiento γ=7.0 s-1. Sabiendo que la partícula parte de la posición x0=5 con velocidad inicial nula, v0=0, escribir la ecuación de la oscilación amortiguada.

La frecuencia angular de la oscilación amortiguada ω es

5=A•senj

0=-7A•senj +99.75•A•cosj

La ecuación de la oscilación amortiguada es

x=5.01•exp (-7t)• sen (99.75t+1.5)

Como vemos la amplitud A no es 5 ni la fase inicial φ es π/2, como en las oscilaciones libres

Posiciones de retorno

Las posiciones de máximo desplazamiento, son aquellas en las que la velocidad del móvil es cero. En la expresión de la velocidad ponemos v=0 y despejamos el argumento ωt+φ

Tan (ωt+φ)=ω/γ

Las posiciones de los puntos de retorno son

Si el móvil parte de la posición x0 con velocidad v0=0, la fase vale tanφ=ω/γ, y A=x0/senφ

Ejemplo:

Las sucesivas posiciones de los puntos de retorno para ω0=100 rad/s, γ=7.0 s-1 del ejemplo del apartado anterior son:

t0=0, x0=5

t1=0.031, x1=-4.01

t2=0.063, x2=3.22

t3=0.094, x3=-2.58

y así, sucesivamente.

La energía del oscilador amortiguado

La energía de la partícula que describe una oscilación amortiguada es la suma de la energía cinética de la partícula y de la energía potencial del muelle elástico deformado.

Introducimos las expresiones de la posición x y de la velocidad v de la partícula en función del tiempo t.

Si la constante de amortiguamiento γ es pequeña, como hemos visto en el ejemplo del apartado anterior ω0≈ω

La energía decrece exponencialmente con el tiempo, pero con una pequeña ondulación debida al segundo término entre paréntesis, tal como apreciamos en la figura

Un modelo para el coeficiente de restitución.

En este apartado se describe el impacto del balón sobre una pared rígida mediante un modelo mecánico simple.

Cuando el balón impacta sobre una pared rígida, supondremos que sobre el c.m. del balón actúan dos fuerzas :

• Una fuerza elástica proporcional al desplazamiento del c.m. de módulo kx, que tiende a restaurar al c.m. a su posición de equilibrio.

• Una fuerza de rozamiento lv, proporcional a la velocidad del c.m. y que da cuenta de la pérdida de energía del balón durante el impacto.

La ecuación del movimiento del c.m., es

ma=-kx-λv

o bien

Esta es la ecuación diferencial de las oscilaciones amortiguadas, donde w02=k/m es la frecuencia propia o natural del sistema oscilante y g =l/(2m) es la constante de amortiguamiento.

Existen tres posibles soluciones de la ecuación diferencial, de acuerdo con las raíces de la ecuación característica.

Oscilaciones amortiguadas (g<w0)

Las condiciones iniciales determinan los valores de la amplitud inicial A y de la fase inicial f. En nuestro caso son: t=0, x=0, y v=v0.

Esta ecuación nos da la posición y velocidad del c.m. del balón deformado en función del tiempo.

La figura nos muestra la representación gráfica de la posición del c.m. del balón en función del tiempo. Después de haber completado un semiperiodo de oscilación P/2=p/w, (línea de color rojo) el c.m. del balón se aleja de la pared con una velocidad v dada por

Se define el coeficiente de restitución e como el cociente entre la velocidad final v tras el choque entre la velocidad inicial v0 justamente antes del choque con la pared.

Podemos comprobar, que el coeficiente de restitución depende de dos parámetros que describen nuestro modelo simplificado, la frecuencia de la oscilación amortiguada y la constante de amortiguamiento.

Como podemos apreciar, si la constante de amortiguamiento es cero, g=0, no hay rozamiento interno entre las diversas partes del balón, no hay pérdidas de energía, el choque es perfectamente elástico, y e=1.

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