PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR (MATRIZ [L])

Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de "factor" explicado anteriormente y se ubican todos los "factores" debajo de la diagonal según corresponda en cada uno.

Esquemáticamente se busca lo siguiente:

Originalmente se tenía:

Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la ecuación y se tiene lo siguiente:

Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax = LUx = b.

PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU

Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U.

Resolver Ly = b (para encontrar y).

El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre "y".

Realizar Ux = y (para encontrar x).

El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada "x", la cual brinda los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.

EJEMPLO 1 DE DESCOMPOSICIÓN LU

PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

NOTA: Recuérdese que si la matriz es 2x2 se hará 1 iteración; si es 3x3, 2 iteraciones; si es 4x4, 3 iteraciones; y así sucesivamente.

SOLUCIÓN:

4

- 2

- 1

9

[A] =

5

1

- 1

[B] =

7

1

2

- 4

12

ITERACIÓN 1

factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25

factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25

Encontrando [U]

fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)

fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)

a11 = a11

a12 = a12

a13 = a13

a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0

a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5

a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25

a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0

a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5

a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75

4

- 2

- 1

[U] =

0

3.5

0.25

0

2.5

- 0.75

Encontrando [L]

1

0

0

[L] =

1.25

0

0

0.25

0

0

ITERACIÓN 2

factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143

Encontrando [U]

fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)

a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0

a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0

a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286

4

- 2

- 1

[U] =

0

3.5

0.25

0

0

- 0.9285714286

Encontrando [L]

1

0

0

[L] =

1.25

1

0

0.25

0.7142857143

1

Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver

Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:

Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:

El último paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:

La solución del sistema es:

Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la descomposición LU.

EJEMPLO 2 DE DESCOMPOSICIÓN LU

PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

SOLUCIÓN:

11

- 3

- 2

18

[A] =

5

- 2

- 8

[B] =

13

4

- 7

2

2

ITERACIÓN 1

factor 1 = (a21 / a11) = 5/11 = 0.4545454545

factor 2 = (a31 / a11) = 4/11 = 0.3636363636

Encontrando [U]

fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)

fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)

a11 = a11

a12 = a12

a13 = a13

a21 = - (0.4545454545) * (11) + (5) = 0

a22 = - (0.4545454545) * (- 3) + (- 2) = - 0.6363636365

a23 = - (0.4545454545) + (- 2) + (- 8) = - 7.0909090919

a31 = - (0.3636363636) * (11) + (4) = 0

a32 = - (0.3636363636) * (- 3) + (- 7) = - 5.909090909

a33 = - (0.3636363636) * (- 2) + (2) = 2.7272727272

11

-3

-2

[U] =

0

- 0.6363636365

- 7.0909090919

0

- 5.909090909

2.7272727272

Encontrando [L]

1

0

0

[L] =

0.45454545

0

0

0.36363636

0

0

ITERACIÓN 2

factor 3 = (u32/u22) = - 5.909090909 / - 0.6363636365 = 9.285714284

Encontrando [U]

fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)

a31 = - (9.285714284) * (0) + (0) = 0

a32 = - (9.285714284) * (- 0.6363636365) + (- 5.909090909)

...