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Pauta certamen 2 Cálculo 3

gary olivaresExamen7 de Mayo de 2022

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[pic 1]

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

GAJ/AHN/gaj/ahn 22/01/2015

Pauta Certamen 2 Cálculo III PLEV (2025)

Problema 1 (15 puntos)

Sea 𝐾 el sólido limitado superiormente por la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2, e inferiormente por la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2𝑎𝑧, con 𝑎 > 0. Exprese las integrales que permiten calcular el volumen de

𝐾 en coordenadas cilíndricas y esféricas. Calcule dicho volumen.

Solución.

Restando las ecuaciones de las esferas se tiene 𝑎2 = 2𝑎𝑧 ⟺ 𝑧 = 𝑎. Luego la proyección del sólido[pic 2]

2

en el plano 𝑋𝑌 está dada por 𝐷 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 3𝑎2. De donde el volumen del sólido en coordenadas[pic 3]

4

cilíndricas es:

𝑉(𝐾) =          𝑟𝑑(𝑟, 𝜃, 𝑧)

𝐾

[pic 4]

[pic 5]        [pic 6]

Donde 𝐾 = {(𝑟, 𝜃, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 0 ≤ 𝑟 ≤ √3𝑎 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 , 𝑎 − √𝑎2 − 𝑟2 ≤ 𝑧 ≤ √𝑎2 − 𝑟2}.

2

Las ecuaciones de las esferas en coordenadas esféricas son:

𝜌 = 𝑎

𝜌 = 2𝑎 cos 𝜙

Igualando se tiene 2𝑎 cos 𝜙 = 𝑎 ⟹ 𝜙 = 𝜋. Luego en coordenadas esféricas el volumen está dado[pic 7]

3

por:

Donde:


𝑉(𝐾) =          𝜌2 sen 𝜙 𝑑(𝜌, 𝜃, 𝜙)

𝐾∗∗

𝐾∗∗ = {(𝜌, 𝜃, 𝜙) ∈ ℝ3 ∶ 0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑎 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 , 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋}[pic 8]

3

𝖴 {(𝜌, 𝜃, 𝜙) ∈ ℝ3 ∶ 𝜋 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 0 , ≤ 𝜌 ≤ 2𝑎 cos 𝜙 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋}

[pic 9]        [pic 10]

3        2

8 puntos por una de las dos expresiones correctas

5 puntos la expresión restante

2𝜋

( )


𝜋        𝑎

2[pic 11]


2𝜋        𝜋


2𝑎 cos 𝜙

2

𝑉 𝐾


= ∫        ∫ ∫ 𝜌


sen 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃 + ∫        ∫   ∫        𝜌


sen 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃

0        0        0[pic 12]

1        𝑎3


8𝑎3


0        0        0

2𝜋        𝜋[pic 13]

= (2𝜋) (1 −   ) (        ) +

[pic 14]        [pic 15]


2

∫        ∫ cos   𝜙 sen 𝜙 𝑑𝜙 𝑑𝜃

[pic 16]

2        3        3        𝜋[pic 17]

3

= 𝑎3 𝜋 + (8𝑎3 ) (2𝜋) ( 1 )[pic 18][pic 19][pic 20]

3        3        64

= 5𝑎 3 𝜋[pic 21]

12

2 puntos

OBS: También es posible usar coordenadas cilíndricas obteniéndose:

2𝜋


[pic 22]

3𝑎 2


[pic 23]

√𝑎 2 −𝑟 2

𝑉(𝐾) = ∫        ∫        ∫                 𝑟𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃

0        0        𝑎−√𝑎2 −𝑟 2

2𝜋


[pic 24]

3𝑎                 

2

= ∫        ∫


𝑟 (2√𝑎2 − 𝑟2 − 𝑎) 𝑑𝑟 𝑑𝜃

0        0

2        2        2 3

[pic 25]


𝑎𝑟2

[pic 26]


[pic 27]

3𝑎 2[pic 28]

= (2𝜋) (− 3 (𝑎


− 𝑟


)2 −        )|

0

= (2𝜋)[pic 29]


𝑎3 (− 12


3𝑎3

8   +[pic 30]


2𝑎3

3 )[pic 31]

5𝑎3𝜋

= 12[pic 32]


Bonos de 5 puntos por dibujo correcto.

Considere el campo vectorial 𝐹→  ∶  ℝ2 − {(−1,0)}⟶ ℝ2, definido por:[pic 33]

𝐹→(𝑥, 𝑦) = −        𝑦[pic 34]

(𝑥 + 1)2 + 4𝑦2


𝑖^ +                 𝑥 + 1        𝑗 (𝑥 + 1)2 + 4𝑦2

Calcule la integral de línea 𝐶    𝐹∙ 𝑑𝑟→, donde 𝐶 ∶  𝑥2 + 𝑦2  = 16 es recorrida en sentido horario. ¿Es

dicho Campo Vectorial Conservativo en su dominio?

Solución.

Sea 𝐶1 ∶ (𝑥 + 1)2 + 4𝑦2 = 1. Es claro que 𝐶1 está en la región interior de 𝐶. Sea 𝑅 la región interior a 𝐶  y exterior a 𝐶1. Es claro que 𝐹→  es de clase 𝐶1  en un abierto que contiene a 𝐶, 𝐶1, 𝑅. Considerando que 𝐶 debe estar en sentido negativo, y orientando a 𝐶 en sentido positivo, por el Teorema de Green Segunda Forma:

[pic 35]

Como:[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]


∀(𝑥, 𝑦) ≠ (−1,0) ∶ 𝜕[pic 40]

𝜕𝑥


(        𝑥 + 1

(𝑥 + 1)2 + 4𝑦2[pic 41]


) − 𝜕

𝜕𝑥[pic 42]


(        𝑥 + 1

(𝑥 + 1)2 + 4𝑦2[pic 43]


) = 0 ⋯ 𝟏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐

Se tiene que:

∫   𝐹→ ∙ 𝑑𝑟→ = − ∫   𝐹→ ∙ 𝑑𝑟→

𝐶        𝐶1

Una parametrización de 𝐶1 es 𝛾1(𝑡) = (−1 + cos 𝑡 , 1 sen 𝑡) , 𝑡 ∈ [0,2𝜋] ⋯ 𝟏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐.[pic 44][pic 45]

Luego por definición:


2𝜋        1        1

[pic 46][pic 47]

∫   𝐹 ∙ 𝑑𝑟→ = ∫        (− 2 sen 𝑡 , cos 𝑡) ∙ (− sen 𝑡 , 2 cos 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜋  ⋯ 𝟏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐

𝐶1        0

Se concluye que:

∫   𝐹→ ∙ 𝑑𝑟→ = −𝜋  ⋯ 𝟏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐

...

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