Polinomio

6.2 Polinomio y ecuación característica.

Valores propios y vectores propios

El cálculo de los valores propios y de los vectores propios de una matriz simétrica tiene gran importancia en las matemáticas y en la ingeniería, entre los que cabe destacar, el problema de la diagonalización de una matriz, el cálculo de los momentos de inercia y de los ejes principales de inercia de un sólido rígido, o de las frecuencias propias de oscilación de un sistema oscilante.

Se denominan valores propios o raíces características de una matriz cuadrada A, a los valores de  tales que.

Desarrollando el determinante tenemos un polinomio de grado n. Trataremos de encontrar los coeficientes del polinomio, y luego aplicaremos un método de hallar las raíces del polinomio. Este procedimiento es apropiado cuando se presentan valores propios que no son reales sino complejos.

Una vez hallados los valores propios, para hallar el vector propio X correspondiente al valor propio  es necesario resolver el sistema homogéneo

donde el vector X es Siempre podemos tomar x0 como 1, y hallar las otras n-1 incógnitas. De las n ecuaciones podemos tomar n-1, y resolver el sistema lineal.

El método de Leverrier

Dada una matriz cuadrada A de dimensión n. El polinomio característico de la matriz es

Los coeficientes se hallan mediante las siguientes relaciones

(1)

Los valores s1, s2, ... sn son las trazas de las potencias de la matriz cuadrada A.

La traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal principal.

POLINOMIO CARACTERÍSTICO

polinomio característico y encontrar sus raíces. Cada raíz de será un valor propio de . Los vectores propios pueden obtenerse directamente . Debido a que los valores propios resultan ser las raíces del polinomio característico, éstos pueden ser reales o complejos, diferentes o repetidos.

Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:

La matriz (A - l•In), donde In es la matriz identidad n-cuadrada y l un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de A:

Su determinante, det (A - l•In) , que es un polinomio en l, recibe el nombre de polinomio característico de A. Asimismo, llamamos a

det (A - l•In) = 0

ecuación característica de A.

Ejemplo 1:

Hallar la matriz característica y el polinomio característico

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