Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Ejemplo

i22

i22 = (i4)5 · i2 = − 1

Valor absoluto

El valor absoluto o módulo de un numero complejo  “z” viene dado por la siguiente expresión: si pensamos en z como un punto en el plano; podemos observar, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un numero complejo coincide con la distancia euclidea desde el origen del plano.

                                            |z|= =[pic 1][pic 2]

1.4 FORMA POLAR Y EXPONECIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO

1.4.1 FORMA POLAR

Sean r y  coordenadas polares del punto (x,y) que corresponden a un numero complejo no nulo z=x + iy. Como[pic 3]

                                   x=r   e  y =r [pic 4][pic 5]

z puede ser expresado en forma polar como

                                  z= r( )[pic 6]

En el análisis complejo ,no se admiten r negativos , pero  tiene infinitos valores          posibles, incluyendo valores negativos.[pic 7]

1.4.2 FORMA EXPONCIAL

La ecuación  define el símbolo  para todo valor real de , se conoce como fórmula de Euler , que permite expresar z más compactamente en forma exponencial :[pic 8][pic 9][pic 10]

                                       [pic 11]

ANEXOS

FORMA POLAR

Pasa a forma polar los siguientes números complejos:

1.   [pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

1.   [pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

3)  [pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

      [pic 23][pic 24]

1.  [pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

1. [pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

...