Valor absoluto

Valor absoluto

En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Gráfica de la función valor absoluto.

Contenido

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• 1 Valor absoluto de un número real

o 1.1 Propiedades fundamentales

o 1.2 Otras propiedades

• 2 Valor absoluto de un número complejo

o 2.1 Propiedades

• 3 Programación del valor absoluto

• 4 Notas

• 5 Referencias

• 6 Enlaces externos

[editar] Valor absoluto de un número real

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:2

Note que, por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real

[editar] Propiedades fundamentales

No negatividad

Definición positiva

Propiedad multiplicativa

Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

[editar] Otras propiedades

Simetría

Identidad de indiscernibles

Desigualdad triangular

(equivalente a la propiedad aditiva)

Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

•

•

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

[editar] Valor absoluto de un número complejo

El valor absoluto de un número complejo es la distancia desde al origen. Aquí vemos que y su conjugado tienen el mismo valor absoluto.

Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

De esta manera, dado cualquier número

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