Valor Absoluto

Materia: Matemática I

Material 2

Unidad I: Sistema de coordenada cartesianas

Contenidos: Valor absoluto; Distancia entre dos puntos y Punto medio de un segmento.

Valor Absoluto.

El Valor Absoluto se define como la distancia entre dos números reales en la recta numérica.

|a| Es la distancia (no negativa) a lo largo de la recta real, entre cero y el número real “a” que es el valor absoluto de a.

Propiedades del valor absoluto:

|a|=|-a|=√(a^2 )=a

|a.b|=|a|.|b|

|a/b|=|a|/|b| donde a y b cualquier número real pero b≠0

|a^n |=|a|^n donde n es cualquier real

|x|=a sí y solo sí x=±a

|x|<a sí y solo sí -a<x<a

|x|>a sí y solo sí x<-a y x>a

Distancia entre dos puntos.

Sean P1 con coordenadas (x1, y1) y P2 con coordenadas (x2, y2) dos puntos dados cualesquiera. La distancia d entre P1 y P2 se determina por:

d=√((x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2 )

Calculemos la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)

d = 5 unidades

Demostración

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = |p_1 p_2 |esta dada por:

d=√((x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2 )

En la siguiente Figura hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta (P_1 P_2 ) ̅

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

Pero: ;

y

Luego,

d=√((x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2 )

Punto medio de un segmento.

Las coordenadas del punto medio de un segmento, cuyos extremos son P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son

x_m=(x_1+x_2)/2 y y_m=(y_1+y_2)/2

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