Problemas De Optimización

Analizar el siguiente planteamiento: la longitud de la base de un paralelepípedo es el triple que el ancho del mismo, y la altura h cm., como se muestra en la figura de abajo. El total del área es A cm² y el volumen es V cm³

a.- Demostrar que el A=6x²+8xh

Para calcular el área de un paralelepípedo se utiliza la siguiente fórmula:

A=2 (ab+bc+ac)

A=2[(3x)(x)+(x)(h)+(3x)(h)]

A=6x²+2xh+6xh

A=6x²+8xh

b.- si A=200, obtén una expresión para h en términos de x

A=6x²+8xh Sustituimos A

200=6x²+8xh Despejamos h

h=(200-6x²)/8x Simplificando nos queda h=(100-3x²)/4x

c.- si A=200, demuestra que el volumen V(x)=75x-9/4 x³

Para calcular el volumen de un paralelepípedo se utiliza la siguiente fórmula:

V=a*b*c

V=(3x)(x)(h)

V=3x²h

Utilizando la formula anterior h=(100-3x²)/4x

h=(100-3x²)/4x

4x h = 100-3x

Multiplicaremos por 3x/4 para que nos quede como la fórmula del volumen.

3x/4 (4x h)=(100-3x) 3x/4

12x²h/4= 300x/4-9x³/4

3x²h= 75x-9x³/4

V= 75x-9x³/4

d.- Encuentra V´ (x).

V= 75x-9x³/4

V´(x)= 75-27x²/4

e.- Con los criterios de la primera y segunda derivada demuestra que el punto (10/3 ,500/3) es un punto máximo.

Nota: x=10/3 es el valor crítico.

V´(x)= 0

75-27x²/4=0

x²= (75(4))/27 Despejando y simplificando

x²= 300/27

x²= 100/9

√x²= √(100/9)

x= 10/3

Utilizando el criterio de la segunda derivada

Si f´(x) ˂ 0 es un maximo.

Si f´(x) ˃ 0 es un minimo.

Si f´(x)= 0 criterio de falla.

V= 75x-9x³/4

V´(x)= 75-27x²/4

V´´(x)= -54x/4

V´´(x)= -27x/2

V´´(10/3 )= -27(10/3 )/2

V´´(10/3 )= -((270/3 ))/2

V´´(10/3 )= -90/2

V´´(10/3 )= -45

-45 ˂ 0 entonces cuando x= 10/3 es un máximo.

f.- Encuentra el volumen máximo.

V= 75x-9x³/4

V(x)= 75x-9x³/4 cuando x= 10/3 como punto máximo

V(10/3)= 75(10/3)-9(10/3)³/4

V(10/3)= (750/3)-9(1000/27)/4

V(10/3)= (750/3)-9000/108

V(10/3)= 250-83.333

V(10/3)= 166.66 cm³ Este es el volumen máximo.

g.- Cual es la altura h del paralelepípedo donde se maximiza el volumen?

Usando la formula que anteriormente resolvimos en el inciso b:

h=(100-3x²)/4x

h (10/3)=(100-3(10/3)²)/4(10/3)

h (10/3)=(100-3(100/9))/(40/3)

h (10/3)=(100-300/9)/(40/3)

h (10/3)=(600/9)/(40/3)

h (10/3)=((600)(3))/((9)(40))

h (10/3)=1800/360

h=5

...