Problema De Optimizaci{on

PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

Una refinería se localiza al norte de la orilla de un rio recto que es de 2 km de ancho. Se debe construir una tubería desde la refinería hasta un tanque de almacenamiento que se localiza al sur de la orilla del rio 6 km al este de la refinería. El costo de instalación de la tubería es 400.000 dólares/km en tierra hasta el punto P al norte de la orilla y 800.000 dólares/km bajo el rio hasta el tanque. Con la finalidad de minimizar el costo de la tubería, ¿Donde se localiza P?

DESARROLLO

Hay (6-x) km sobre la tierra y √(x^2+4) [km] bajo el rio.

Nosotros necesitamos minimizar el costo C (medido en 100.000) de la tubería.

C(x) = (6-x)*4 + (√(x^2+4))*(8)

C´(x) = -4 + 8 * 1/2 〖(x^2+4)〗^(-1/2)*(2x) = - 4 + 8x/√(x^2+4)

C´(x) = 0 → 4 = 8x/√(x^2+4) → √(x^2+4) =2x → 〖(√(x^2+4))〗^2 =〖(2x)〗^2

x^2+4 = 4x^2 → 4 = 3x^2 → x^2= 4/3

X = 2/√3

C (2/√3) = (6- 2/( √3))*4 + (√((2/√3 )^2+4))* 8

= 24 - 8/√3 + 32/√3

= 24 + 24/√3 ≈ 37,9

Y si reemplaza x=6(que es el límite):

C (6) = 0 + 8√40 ≈ 50,6 ← No sirve

Así el costo mínimo es:

$ 3, 79 millones cuando P esta a 6 - 2/√3 ≈ 4,85 [km] al este de la refinería.

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