Problemas Sesion 4.

 Modelado y Simulación de Sistemas Complejos

Máster en Ingeniería Matemática UC3M Curso 2012 Lino Gustavo Garza Gaona Problemas Sesión 4

1.         [Teórico]. Sea f ⊂ Rn y f : F −→ Rn una aplicaci—n tal que | f (x) − f (y)|≤ c|x − y|α, ∀x, y ∈ F

para constantes c > 0, α> 0. Pruebe que para cada s Hs/α( f (F)) ≤ cs/αHs(F).

Pruebe tambiŽn que dimHf (F) ≤ (1/α) dimHF.

Solución.

Si {Ui} es un δ − recubrimiento de F, entonces, tenemos | f (F ∩ Ui)|≤ c|F ∩ Ui|α ≤ c|Ui|α, entonces { f (F ∩ Ui)} es un E − recubrimiento de f (F), donde E = cδα. Entonces

| f (F ∩ Ui)|s/α ≤ cs/α|Ui|s , ii

de manera que HEs/α( f (F)) ≤ cs/αHs(F). Conforme δ → 0, por consiguiente E → 0, y tenemos la primer

δ

desigualdad.         _

Ahora hay que demostrar que dimHf (F) ≤ (1/α) dimHF. Si s > dimHF entonces por el resultado anterior Hs/α( f (F)) ≤ cs/αHs(F) = 0, lo que implica que dimHf (F) ≤ s/α para todo s > dimHF. _

2.         [Teórico]. Sea f : [0, 1] −→ R una funci—n Lipschitz. Escribiendo graph( f ) ≡{(x, f (x)): 0 ≤ x ≤ 1}, muestre que dimH (graph( f )) = 1. Discuta que, en particular, Žsto es cierto si f es diferenciable continuamente.

Solución.

Definimos la funci—n g : [0, 1] → graph( f ) como g = (x, f (x)). Pedimos que g sea bi-Lipschitz. Para |g(x) − g(y)|2 = |x − y|2 + | f (x) − f (y)|2 entonces |x − y|2 ≤|g(x) − g(y)|2 ≤|x − y|2 + c2|x − y|2 = (1 + c2)|x − y|2 dado que | f (x) − f (y)|≤ c|x − y| para algœn c > 0. As’ g es bi-Lipschitz, de manera que 1 = dimH ([0, 1]) = dimHg([0, 1]) = dimH graphf.

1

3.         [Analítico]. La dimensi—n box-counting es propensa a patolog’as. Una de estas patolog’as es que con-juntos contables pueden tener dimensi—n positiva. A manera de ejemplo, muestre que la dimensi—n box-counting del conjunto F = {0, 1, 1/2, 1/3, } es 1/2.

...