Programacion No Lineal

INDICE

I.        MATRIZ CANONICA:        2

II.        NORMA DE UNA MATRIZ:        2

III.        MATRIZ SINGULAR:        4

IV.        RANGO DE UNA MATRIZ:        5

1)        Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss        5

2)        Cálculo del rango de una matriz por determinantes        6

V.        CONJUNTO CONVEXO Y NO CONVEXO:        8

1)        Conjuntos convexos:        8

2)        Conjuntos no convexos:        8

        8

VI.        BIBLIOGRAFIA:        9

1. MATRIZ CANONICA:

Forma canónica de Jordan. En álgebra lineal, la forma canónica de Jordan es la forma de la matriz de un endomorfismo de un espacio vectorial en cierta base asociada a la descomposición en suma directa de subespacios invariantes bajo dicho endomorfismo.

[pic 1]

1. NORMA DE UNA MATRIZ:

Una norma matricial sobre el conjunto de las matrices n x n es una función de valor real , representada por||A ||,definida en este conjunto y que satisface para todas las matrices A y B de n x n y todos los números reales [pic 2] las siguientes propiedades:

• ||A|| [pic 3] 0 y ||A|| = 0 si y sólo si A = 0
• ||[pic 4]A|| = |[pic 5]| ||A||, [pic 6] [pic 7] [pic 8]
• ||A+B|| [pic 9] ||A|| + ||B||
• ||A B|| [pic 10] ||A|| ||B||

Una distancia entre las matrices A y B de nxn respecto a esta norma matricial es ||A-B||

A continuación se dan ejemplos de normas.

• Norma 1: ||A||1= [pic 11] (máxima suma en las columnas )
• Norma [pic 12]: ||A||[pic 13] = [pic 14] (máxima suma en las filas )

• Norma 2: ||A||2 = [[pic 15]]1/2, donde [pic 16] es el radio espectral de AtA

• Norma de Frobenius: ||A||F = [pic 17]

EJEMPLO:        Calcular las normas 1, [pic 18] y de Frobenius para la matriz

[pic 19]

[pic 29]

1. MATRIZ SINGULAR:
   
   Una matriz es singular si y solo si su determinante es nulo:

A es regular ⇔ |A| = 0

Esta propiedad es fundamental para determinar si una matriz es singular como veremos a continuación en los ejemplos. 

EJEMPLOS:

1. Veamos dos ejemplos de matrices singulares verificando que su determinante es igual a 0: 

[pic 30]

|A| =  2x9 – 3x6 = 18 – 18 = 0 → A es singular

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