Prueba extemporánea: Encuentro intermedio
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Prueba extemporánea: Encuentro intermedio
German Octavio Álvarez Villa
Universidad EAN, Ingeniería industrial
Docente: Néstor Naranjo Ramírez
3 de octubre de 2022
Prueba extemporánea: Encuentro intermedio
Exploraciones con computadora
En los ejercicios 31 a 36, utilice su computadora y el software apropiado para realizar los siguientes pasos con la curva dada sobre el intervalo cerrado.
- Trace la curva junto con las trayectorias poligonales aproximadas para n = 2, 4, 8 puntos en la partición del intervalo. (Vea la figura 6.24).
- Determine la aproximación correspondiente a la longitud de la curva, sumando las longitudes de los segmentos de recta.
- Evalúe la longitud de la curva por medio de una integral. Compare sus aproximaciones para n = 2, 4, 8 con la longitud real dada por la integral. ¿Cómo se compara la longitud real con las aproximaciones a medida que n crece? Explique su respuesta.
31. [pic 1]
Solución
- Trace la curva junto con las trayectorias poligonales aproximadas para n = 2, 4, 8 puntos en la partición del intervalo. (Vea la figura 6.24).
Figura 1
Curva junto con las trayectorias poligonales aproximadas para n=2
[pic 2]
Figura 2
Curva junto con las trayectorias poligonales aproximadas para n=4.
[pic 3]
Figura 3
Curva junto con las trayectorias poligonales aproximadas para n=8.
[pic 4]
- Determine la aproximación correspondiente a la longitud de la curva, sumando las longitudes de los segmentos de recta.
Solución
Los siguientes cálculos se realizaron en el programa octave:
Para n=2
[pic 5]
Para n=4
[pic 6]
Para n=8
[pic 7]
- Evalúe la longitud de la curva por medio de una integral. Compare sus aproximaciones para n = 2, 4, 8 con la longitud real dada por la integral. ¿Cómo se compara la longitud real con las aproximaciones a medida que n crece? Explique su respuesta.
Figura 4
Calculo de la longitud de la curva por medio de Wolfram. (Wolfram Alpha LLC, 2022)
[pic 8]
Rta: las aproximaciones entre más grande es el n, más cercanos son los valores a el valor real de la longitud de la curva en el intervalo, esto ocurre ya que, entre más particiones, las líneas son cada vez más pequeñas y se posicionan más cerca a la curva real.[pic 9][pic 10]
32. [pic 11]
Solución
- Trace la curva junto con las trayectorias poligonales aproximadas para n = 2, 4, 8 puntos en la partición del intervalo. (Vea la figura 6.24).
Figura 5
Curva junto con las trayectorias poligonales aproximadas para n=2
[pic 12]
Figura 6
Curva junto con las trayectorias poligonales aproximadas para n=4.
[pic 13]
Figura 7
Curva junto con las trayectorias poligonales aproximadas para n=8.
[pic 14]
- Determine la aproximación correspondiente a la longitud de la curva, sumando las longitudes de los segmentos de recta.
Solución
Los siguientes cálculos se realizaron en el programa octave:
Para n=2
[pic 15]
Para n=4
[pic 16]
Para n=8
[pic 17]
- Evalúe la longitud de la curva por medio de una integral. Compare sus aproximaciones para n = 2, 4, 8 con la longitud real dada por la integral. ¿Cómo se compara la longitud real con las aproximaciones a medida que n crece? Explique su respuesta.
Figura 8
Cálculo de la longitud de la curva por medio de Wolfram. (Wolfram Alpha LLC, 2022)
[pic 18]
Rta: las aproximaciones entre más grande es el n, más cercanos son los valores a el valor real de la longitud de la curva en el intervalo, esto ocurre ya que, entre más particiones, las líneas son cada vez más pequeñas y se posicionan más cerca a la curva real, sobre todo desde la segunda en adelante se puede observar en la (Figura 7), que están casi sobre la función original, lo que hace que el valor sea bastante cercano.[pic 19][pic 20]
33. [pic 21]
Solución
- Trace la curva junto con las trayectorias poligonales aproximadas para n = 2, 4, 8 puntos en la partición del intervalo. (Vea la figura 6.24).
Figura 9
Curva junto con las trayectorias poligonales aproximadas para n=2
[pic 22]
Figura 10
Curva junto con las trayectorias poligonales aproximadas para n=4.
[pic 23]
Figura 11
Curva junto con las trayectorias poligonales aproximadas para n=8.
[pic 24]
- Determine la aproximación correspondiente a la longitud de la curva, sumando las longitudes de los segmentos de recta.
Solución
Los siguientes cálculos se realizaron en el programa octave:
Para n=2
[pic 25]
Para n=4
[pic 26]
Para n=8
[pic 27]
- Evalúe la longitud de la curva por medio de una integral. Compare sus aproximaciones para n = 2, 4, 8 con la longitud real dada por la integral. ¿Cómo se compara la longitud real con las aproximaciones a medida que n crece? Explique su respuesta.
Figura 12
Cálculo de la longitud de la curva por medio de Wolfram. (Wolfram Alpha LLC, 2022)
[pic 28]
Rta: las aproximaciones entre más grande es el n, más cercanos son los valores a el valor real de la longitud de la curva en el intervalo, esto ocurre ya que, entre más particiones, las líneas son cada vez más pequeñas y se posicionan más cerca a la curva real, en la gráfica (Figura 11) se puede observar que se acerca sobre todo en subidas y bajadas, pero se diferencia bastante en las curvas, ya que la aproximación es muy rígida y no puede tomas estos cruces sobre la función original.[pic 29][pic 30]
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