Razon De Cambio

DEL NÚMERO RACIONAL A LA RAZÓN DE CAMBIO

INTRODUCCIÓN

Los docentes de secundaria son conscientes de las dificultades que se tienen cuando se aborda en el aula el concepto de número racional, las cuales no solo se refieren al bajo nivel de compresión de los algoritmos de cálculo de la aritmética, sino a su interpretación en contextos de aplicación como: número, operador, cociente de números, elemento de un cuerpo cociente, división indicada, en la relación como parte-todo o como razón.

Veamos las siguientes situaciones:

1. La solución de la ecuación ax=b siendo a y b números enteros

2. 1/3 =0.3333..

3. a/b+c/d=(ad+bc)/bd

4. 2/3=4/6=10/15=..

5 12 son los tres quintos de 20

4. Si repartimos 4 chocolatinas entre cinco niños a cada uno le tocará 4/5

6. Se pintó solo las TRES CUARTAS PARTES DE LA FACHADA

7 En la clase hay tres niñas por cada cuatro niños

8. La razón entre el número de niños y las niñas es de 3 a 4

9 3/7 de los alumnos son niñas

10 La velocidad máxima permitida es de 80 kilómetros por hora.

11. El agua está formada por dos partes de hidrógeno y una de oxígeno

Para cada situación dar la interpretación respectiva de la fracción.

DE LA FRACCIÓN COMO PARTE TODO A LA FRACCIÓN COMO RAZÓN.

Consideremos la fracción irreducible 3/4 como parte de un todo, en este caso la parte sombreada de un rectángulo que sería la unidad. (Hacer un gráfico de la situación para luego dividirlo también en 8 y 12 partes iguales).

A partir de la actividad anterior se observa que:

3/4=6/8=9/12 Ya que coinciden las partes sombreadas, que es lo mismo

3/4=(3×2)/(4×2)=(3×3)/(4×3) De donde podemos concluir que las fracciones 6/8 y 9/12 son iguales a la

Fracción irreducible 3/4 y descomponiendo esta igualdad de fracciones en las siguientes igualdades

6=3×2 9=3×3

8=4×2 12=4×3

De esta experiencia numérica podemos generalizar y dar una definición de igualdad entre fracciones formadas a partir de números naturales:

2.1 DEFINICIÓN: Diremos que dos fracciones m/n y r/s son iguales si existen números naturales p, q primos entre si tales que se cumplen las igualdades

(1) m=pa r= pb

n =qa s =qb

Para algunos números naturales a y b.

Si se multiplican término a término las igualdades anteriores obtenemos que

ms = nr = pqab

lo que quiere decir que la definición 2.1 implica la igualdad fundamental de las fracciones

(2) ms = nr

Veamos también que si asumimos como válida la igualdad (2) de ella también se deducen las igualdades (2). En efecto:

Sea a el máximo común divisor entre m y n, esto quiere decir que existen enteros p y q primos relativos que satisfacen las igualdades m=pa ; n = qa que es el primer par de igualdades, sustituyendo en (2) obtenemos pas = qar simplificando obtenemos la igualdad (3) ps=qr lo que quiere decir es que q es un divisor del número ps, luego como q no puede tener divisores comunes con p concluimos que q es un divisor de de s, luego s= qb para algún entero b, sustituyendo en (3) pqb=qr donde tenemos la otra igualdad después de simplificar r=pb. Con esto tenemos la:

2.2 Definición. Dos fracciones m/n y r/s son iguales si ms=nr

Que como ya se probó resulta equivalente a la definición 2.2

Si tenemos una fracción m/n donde no necesariamente m y n son primos relativos, al determinar su máximo común divisor a se establecen automáticamente las igualdades ya determinadas anteriormente, m=pa; y ;n=qa donde a, p, q son números naturales únicos, estableciéndose analogía con la medición de la siguiente manera, si m y n son cantidades y a es la unidad de medida, entonces p y q serían las medidas de las cantidades con respecto a la unidad, justificándose así la definición de razón

3. EL CONCEPTO DE RAZÓN

3.1 DEFINCIÓN. Diremos que dos Cantidades M y N de una misma magnitud están en la razón p a q dos números naturales y primos relativos; si existe una medida común A denominada unidad de medida tal que M = pA y N = qA, a los número se les denominaría medida de la cantidad.

Observemos los alcances y limitaciones

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