La Derivada Como Razon De Cambio

Puede interpretarse el concepto de la velocidad en el movimiento rectilíneo, estudiada en la sección 4.2, como el concepto más general de la razón de cambio instantáneo. Es esta una razón de cambio de la distancia respecto al tiempo, y si describe un movimiento rectilíneo, está razón de cambio en cualquier instante t, está representada por . De modo semejante a menudo nos interesamos en una razón de cambio de una cantidad respecto a otra. Existen muchas aplicaciones del concepto de razón instantáneo y razón promedio tanto en Ingeniería, Economía, Física, Química, así como también en Matemáticas. Son ejemplos, la razón de cambio del área de un círculo respecto a su diámetro, la razón de cambio de la longitud de una varilla de metal respecto a su temperatura, la razón de la solución de un compuesto químico en un solvente respecto al tiempo así como por ejemplo, la cantidad de agua Q(lts) que hay en un recipiente es función del tiempo t. Si el agua entra y sale, Q cambia en una cantidad de un tiempo t a un tiempo . Entonces la razón de cambio media o promedio de Q con respecto a t es:

y la razón instantánea:

Es decir, con frecuencia tales problemas pueden analizarse de una manera completamente igual a la empleada para los problemas de la tangente y de la velocidad. Así, si se dà y en términos de x por una fórmula podemos discutir la razón de cambio de y respecto a x.

Por razón de cambio de media de y respecto a x, desde hasta , se entiende la relación:

Si el cociente diferencial tiene un límite cuando , este límite está acorde con nuestro concepto intuitivo de razón de cambio instantáneo de y con respecto a x.

Definición: La razón de cambio instantáneo de respecto a es la derivada siempre que la derivada exista.

Ejemplos:

1). Hallar la razón de cambio del área de un cuadrado respecto a un lado cuando el lado mide 5 pulgadas.

Solución:

Sea , el área del cuadrado como función de su lado. Entonces:

Todas las cantidades que se encuentran en la vida diaria cambian con el tiempo. Esto es cierto especialmente en las investigaciones científicas. Por ejemplo, un químico puede estar interesado en la cantidad de cierta substancia que se disuelve en el agua por unidad de tiempo. Un ingeniero eléctrico puede querer saber qué tanto cambia la corriente en alguna parte de un circuito eléctrico por unidad de tiempo. Un biólogo puede estudiar el aumento (o la disminución), por unidad de tiempo, del número de bacterias de algún cultivo. Pueden citarse muchos otros ejemplos, incluyendo algunos en campos fuera de las ciencias naturales. Consideremos la siguiente situación que puede aplicarse a cualquiera de los ejemplos anteriores.

Supongamos que una variable es función del tiempo de manera que al tiempo está dada por , donde g es una función derivable. La diferencia entre el valor inicial y el valor final de en el intervalo de tiempo está dada por . Análogamente a lo que hicimos tratamiento del concepto de velocidad, formulamos la siguiente definición.

DEFINICIÒN

La razón media de cambio de en el intervalo es

La razón de cambio de con respecto a es

Las unidades que deben usarse en al definición (4.29) dependen de la naturaleza de la cantidad representada por . A veces se llama la razón de cambio instantáneo de con respecto a .

El límite de este cociente cuando tiende a 0 (es decir, ) se llama la razón de cambio de y con respecto a x. Así, si la variable x cambia, entonces y cambia a razón de unidades por unidad de cambio de x. Por ejemplo, supongamos que cierta cantidad de gas está encerrada en un globo. Si el gas se calienta o se enfría mientras la presión permanece constante, el globo se dilata o se contrae y su volumen es una función de la temperatura t. La derivada nos da la razón de cambio del volumen con respecto a la temperatura.

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.

Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.

Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.

Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.

Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos

Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo

Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos

La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.

En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.

En un punto crítico máximo relativo, al pasar la función de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa.

En un punto crítico mínimo relativo, la función deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.

METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

Para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relativos en una función, analizaremos dos mecanismos:

• CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.

• obtener la primera derivada.

• igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.

• se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos,

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