Razon De Cambio

Índice

Objetivo……………………… 3

Antecedentes……………….. 4

Desarrollo…………………… 9

- Discusión………………………. 13

- Conclusión…………………….. 14

- Referencias bibliográficas…… 15

Objetivo

Resolver los problemas de aplicación empleando los temas vistos en clase con las fórmulas de derivadas dadas en cada uno de estos.

Obtener conocimientos más allá de los requeridos en el área químico farmacéutico industrial.

Antecedentes

Antecedentes de la derivada

El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y otro país.

Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de un móvil.

Christian Huygens acogerá a Leibniz después de someterle a una prueba de selectividad:

Calcular la suma de la serie de los inversos de los números triangulares

S = 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15...

La respuesta de Leibniz:

1/2 • S = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ... =

=(1- 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+(1/4 - 1/5)... =

= 1- 1/2+1/2 - 1/3+1/3 - 1/4+1/4 - 1/5... = 1

S = 2

Leibniz tampoco utilizaba el concepto de función como lo entendemos en la actualidad.

Para él una curva estaba formada por un número infinito de tramos rectos infinitamente pequeños.

En cada uno de ellos la diferencial de y es la derivada m por la diferencial de x.

Newton imaginaba las curvas como fluentes, lo que fluye, es decir, como la línea que dibujaba un punto al desplazarse a lo largo de un tiempo determinado. Algo parecido a lo que hace un coche en una carretera.

A la derivada la llamó fluxión.

CONCEPTO DE DERIVADA:

Derivada en un punto

La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Interpretación geométrica de la derivada

Derivadas de funciones

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).

Las Derivadas se pueden clasificar por:

Derivadas inmediatas

Derivadas exponenciales y logarítmicas

Derivadas trigonométricas

Derivadas trigonométricas inversas

Aplicaciones de las Derivadas

El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

1. Tasa de variación media

Incremento de una función

Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.

Tasa de variación media

Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio) T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:

T.V.M. [a, b] =

2. Tasa de variación instantánea. La derivada

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).

La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería .

Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

=

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

Observación 1. Si hacemos x =a +h, la derivada, en el punto a, también puede expresarse así:

Aplicación física de la derivada

Consideremos la función espacio E= E(t).

La tasa de variación media de la función espacio en el intervalo [t0, t] es: vM (t)= , que es lo que en Física llaman la velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:

La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.

3. Interpretación geométrica de la derivada

La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.

Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:

La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,f(a))

La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar

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