Razones de Cambio.

Razón de Cambio

Razón de cambio de una variable respecto a otra es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra, también se le llama tasa de cambio. Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero.

La derivada  de una función es su razón de cambio instantánea con respecto a la variable . En general, una razón de cambio con el tiempo es la respuesta a la pregunta: ¿cuán rápido cambia la cantidad? Por ejemplo, si representa el volumen que cambia con el tiempo, entonces  es la razón, o cuán rápido cambia el volumen con respecto al tiempo . (Dennis G. Zill, 2011)[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

La razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando t tiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función

Al definir la derivada de una función en un punto fijo , se mencionó que[pic 7][pic 8]

[pic 9]

Donde  son los incrementos de las variables  , respectivamente.[pic 10][pic 11]

Refiriéndonos a estos incrementos podemos decir que:

• El incremento , nos muestra el cambio que ha tenido la variable [pic 12][pic 13]

• El incremento , nos muestra el cambio que ha tenido la variable .[pic 14][pic 15]

De esto se desprende que el cociente

[pic 16]

es una razón de cambio que nos muestra el cambio que ha tenido la variable y, cuando la variable  ha tenido un cambio .[pic 17][pic 18]

Es decir, es una razón que compara el cambio de la variable , con respecto al cambio de la variable [pic 19][pic 20]

O sea que, es una razón que mide el cambio promedio de la variable y, a lo largo del intervalo limitado por [pic 21]

• Esto es la razón de cambio promedio de la función  con respecto a , a lo largo del intervalo con extremos [pic 22][pic 23][pic 24]

(Razones de cambio relacionadas, s.f.)

Ejercicios:

1. A un depósito cilíndrico de base circular y 5 m de radio, le está entrando agua a razón de 25 litros por segundo. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua, El volumen V de un cilindro circular de radio r y altura h es V = πr2 h.

1. Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto invertido y la longitud de su altura es el doble de la de su diámetro. Al recipiente le está entrando agua a una rapidez constante por lo que la profundidad del agua va en aumento. Cuando la profundidad es de 1 m la superficie sube a razón de 1 cm por minuto. ¿A qué rapidez le está entrando agua al recipiente?, El volumen V del cono circular de radio r y altura h es V = (π/3) r2h

1. Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto.  Cuando se calienta, su longitud y su diámetro aumentan a razón de 0.04 cm por minuto y 0.01 cm por minuto respectivamente. ¿a qué razón aumenta el volumen de la barra en el instante en que el largo mide 20 cm y el diámetro 3 cm?

1. La ley de Boyle dice que cuando un gas se comprime a temperatura contante la presión P y el volumen V satisfacen la ecuación PV=C, donde C es una constate. Suponga que en cierto instante el volumen es 600 cm3, la presión es 150kPa, y la presión crece a una tasa de 20kPa por minuto. ¿A qué tasa cambia el volumen en ese instante?

1. La ley de los gases para un gas ideal a la temperatura absoluta T (kelvin) y la presión P (en atmósferas) con un volumen V (en litros), es P V = nRT ; donde n es el número de moles del gas y R = 0.0821 es la constante de los gases. Suponga que en cierto instante P = 8 atm y que aumenta a razón de 0.10 atm/min, además V = 10L y disminuye a razón de 0.15 L/min. Determinar la razón de cambio de T con respecto al tiempo, en ese preciso instante, si n = 10 mol.

1. El agua está goteando del fondo de un depósito semiesférico de 13 m de radio a razón de 6 m[pic 25]/hora. Si el depósito estaba lleno en cierto momento, ¿con qué rapidez baja el nivel del agua cuando la altura es de 8 m?  [pic 26]

1. Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada sobre una pared. Su base desliza por el suelo a razón de 2 pies/s.  a) ¿A qué razón está bajando su extremo superior por la pared cuando la base dista de ella 7 pies? b) Calcular la razón de cambio del ángulo entre la escalera y la pared cuando la base está a 7 pies el muro. c) Hallar la razón a que cambia el área del triángulo formado por la escalera, el suelo y la pared, cuando la base está a 7 pies del muro.

1. Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 3 metros de diámetro en la base superior y 3.5 metros de altura. Si el agua fluye hacia el recipiente a razón de 3 metros cúbicos por minuto, encuentre la razón de cambio de la altura del agua cuando tal altura es de 2 metros. [pic 27]

Bibliografía

Dennis G. Zill, W. S. (2011). Cálculo Trascendentes tempranas (4ª ed.). México: McGraw Hill.

Razones de cambio relacionadas. (s.f.). Obtenido de Capitulo 7: http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/FTRazon.pdf

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