Razon De Cambio

RAZÓN DE CAMBIO

Como la derivada expresa el cambio instantáneo que experimenta una variable con respecto a otra variable, para una función y= f(x), se podría obtener la derivada o razón de cambio de las variables “x” y “y” con respecto al tiempo "t", es decir: (dy )/dt y dx/dt Lo cual nos va a permitir resolver problemas de aplicación.

Hacia un tanque cónico fluye agua a razón de 8 p3/min, si la altura del tanque es de 12 pies y el radio de la base es de 6 pies. ¿Qué tan rápido se está elevando el nivel del agua cuando tiene 4 pies de altura?

SOLUCIÓN:

Esquematizando en un gráfico, la información dada, tenemos:

Llamemos:

M= cantidad de agua que entra en p3

Q= cantidad de agua que sale en p3

V= cantidad alojada en p3

Para este tipo de problema, de manera general se puede proponer: M – Q=V

Derivando con respecto al tiempo resulta:

dM – dQ = dV

dt dt dt

ahora de acuerdo a la información proporcionada tenemos:

dM/dt= 8□((p3 )/min) y dQ/dt= 0□((p3 )/min)

El volumen del agua alojada depende de la geometría del recipiente. En este caso deberíamos usar la fórmula del volumen de un cono, es decir:

V=1/3 πr2h

Ahora hay que tener la función volumen en término de una variable, que en este caso, lo más indicado es que sea en función de h

¿por qué? : La forma geométrica del recipiente y la forma geométrica de la masa de agua que se va alojando en el recipiente nos permite hacer lo indicado. Las secciones transversales son triángulos semejantes, esto nos permite relacionar r con h

h/12 =r/6 entonces r = h/2

Reemplazando en la fórmula para el volumen del agua alojada, resulta:

V= (1 )/3 π (h/2)2 h= π/12h3

Por tanto:

(dV )/dt = π/4 h2 dh/dt

Entonces:

dM – dQ = dV

dt dt dt

8 0= π/4 h2 dh/dt

dh/dt=32/πh2 p/min

En h= 4 resulta:

dh/dt= 32/π16=2/π p/min

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